Polynômes et équations du second degré
1. Fonctions polynômes
Définition
Une fonction $ P $ est une fonction polynôme si elle est définie sur $ \mathbb{R} $ et si on peut l'écrire sous la forme :
Remarques
- par abus de langage, on dit souvent polynôme au lieu de fonction polynôme.
- les nombres $ a_{i} $ s'appellent les coefficients du polynôme.
Définition (Degré d'un polynôme)
Si $ P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n - 1}x^{n - 1}+ . . . +a_{1}x+a_{0} $ (où le coefficient $ a_n $ est non nul), on dit que $ P $ est une fonction polynôme de degré $ n $.
Cas particuliers
- la fonction nulle n'a pas de degré.
- une fonction constante non nulle définie par $ f\left(x\right)=a $ avec $ a\neq 0 $ est une fonction polynôme de degré 0.
- une fonction affine $ f\left(x\right)=ax+b $ avec $ a\neq 0 $ est une fonction polynôme de degré 1.
Propriété
Le produit d'un polynôme de degré $ n $ par un polynôme de degré $ m $ est un polynôme de degré $ m+n $.
Remarque
Il n'existe pas de formule donnant le degré d'une somme de polynôme. On peut tout au plus dire que le degré de $ P+Q $ est inférieur ou égal à la fois au degré de $ P $ et au degré de $ Q $.
Propriété
Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré sont égaux.
Cas particulier
$ P $ est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
Définition
On dit que $ a \in \mathbb{R} $ est une racine du polynôme $ P $ si et seulement si $ P\left(a\right)=0 $.
Exemple
$ 1 $ est racine du polynôme $ P\left(x\right)=x^{3} - 2x+1 $ car $ P\left(1\right)=0 $
Théorème
Si $ P $ est un polynôme de degré $ n\geqslant 1 $ et si $ a $ est une racine de $ P $ alors $ P\left(x\right) $ peut s'écrire sous la forme :
où $ Q $ est un polynôme de degré $ n - 1 $.
2. Fonctions polynômes du second degré
Définition
On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme :
où $ a $, $ b $ et $ c $ sont des réels avec $ a \neq 0 $.
Exemple
- $ P\left(x\right)=2x^{2}+3x - 5 $ est un polynôme du second degré.
- $ P\left(x\right)=x^{2} - 1 $ est un polynôme du second degré avec $ b=0 $ mais $ Q\left(x\right)=x - 1 $ n'en est pas un car $ a $ n'est pas différent de zéro (c'est un polynôme du premier degré - ou une fonction affine).
- $ P\left(x\right)=5\left(x - 1\right)\left(3 - 2x\right) $ est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité.
Théorème et définition
Tout polynôme du second degré $ P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c $ peut s'écrire sous la forme :
avec $ \alpha = - \dfrac{b}{2a} $ et $ \beta =P\left(\alpha \right) $.
Cette expression s'appelle forme canonique du polynôme $ P $.
Définition
Le nombre $ \Delta =b^{2} - 4ac $ s'appelle le discriminant du trinôme $ ax^{2}+bx+c $.
Propriété (Racines d'un polynôme du second degré)
L'équation $ ax^{2}+bx+c=0 $ :
- n'a aucune solution réelle si $ \Delta < 0 $ ;
- a une solution unique $ x_{0}=\alpha = - \dfrac{b}{2a} $ si $ \Delta =0 $ ;
- a deux solutions $ x_{1}=\dfrac{ - b+\sqrt{\Delta }}{2a} $ et $ x_{2}=\dfrac{ - b - \sqrt{\Delta }}{2a} $ si $ \Delta > 0 $.
Exemple
- $P_1(x)=−x2+3x−2P_{1}\left(x\right)= - x^{2}+3x - 2P1(x)=−x2+3x−2 $ :
$ \Delta =9 - 4\times \left( - 1\right)\times \left( - 2\right)=1 $.
$ P_{1} $ possède 2 racines :
$ x_{1}=\dfrac{ - 3 - 1}{ - 2}=2 $ et $ x_{2}=\dfrac{ - 3+1}{ - 2}=1 $ - $ P_2(x)=x2−4x+4P_{2}\left(x\right)=x^{2} - 4x+4P2(x)=x2−4x+4 $ :
$ \Delta =16 - 4\times 1\times 4=0 $.
$ P_{2} $ possède une seule racine :
$ x_{0}= - \dfrac{ - 4}{2}=2 $. - $ P_3(x)=x2+x+1P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1P3(x)=x2+x+1 $ :
$ \Delta =1 - 4\times 1\times 1= - 3 $.
$ P_3 $ ne possède aucune racine.
Propriété (Somme et produit des racines)
Soit un polynôme $ P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c $ dont le discriminant est strictement positif.
- La somme des racines vaut $ x_{1}+x_{2}= - \dfrac{b}{a} $.
- Le produit des racines vaut $ x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a} $.
Remarque
Ces propriétés sont souvent utilisées pour résoudre rapidement une équation qui possède une racine "évidente".
Par exemple l'équation $ x^{2} - 4x+3=0 $ admet $ x_{1}=1 $ comme racine puisque $ 1^{2} - 4\times 1+3=0 $ ; comme $ x_{1}\times x_{2}=\dfrac{c}{a}=3 $ l'autre racine est $ x_{2}=3 $ .
Propriété (Signe d'un polynôme du second degré)
Le polynôme $ P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c $ :
- est toujours du signe de $ a $ si $ \Delta < 0 $ ;
- est toujours du signe de $ a $ mais s'annule en $ x_{0}=\alpha = - \dfrac{b}{2a} $ si $ \Delta =0 $ ;
- est du signe de $ a $ « à l'extérieur des racines » (c'est à dire sur $ \left] - \infty~; x_{1}\right[ \cup \left]x_{2}; +\infty \right[ $) et du signe opposé « entre les racines » ( sur $ \left]x_{1}; x_{2}\right[ $).
Remarque
Suivant chacun des cas on peut représenter le tableau de signe de $ P $ de la façon suivante :
Si $\Delta > 0$ : $ P\left(x\right) $ est du signe de $ a $ à l'extérieur des racines (c'est à dire si $ x < x_{1} $ ou $ x > x_{2} $ ) et du signe opposé entre les racines (si $ x_{1} < x < x_{2} $).
Si $\Delta =0$ : $ P\left(x\right) $ est toujours du signe de $ a $ sauf en $ x_{0} $ (où il s'annule).
Si $\Delta < 0$ : $ P\left(x\right) $ est toujours du signe de $ a $.
Exemple
Si l'on reprend les exemples précédents :
$ P_{1}\left(x\right)= - x^{2}+3x - 2 $ :
$ \Delta > 0 $ et $ a < 0 $.
$ P_{2}\left(x\right)=x^{2} - 4x+4 $ :
$ \Delta =0 $ et $ a > 0 $.
$ P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1 $ :
$ \Delta < 0 $ et $ a > 0 $.
On rappelle que les solutions de l'équation $ f\left(x\right)=0 $ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $ C_{f} $ et de l'axe des abscisses.
En regroupant les propriétés de ce chapitre et celles vues en Seconde on peut résumer ces résultats dans le tableau :
