Triangles semblables
La notion de triangles semblables est intuitivement liée à celle de forme. Deux figures sont semblables si elles ont la même forme, mais pas nécessairement la même taille. On peut passer de l'une à l'autre par un agrandissement ou une réduction (zoom).
1. Définition et angles
Définition
Deux triangles sont dits semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure.
Règle des deux angles
La somme des angles d'un triangle étant toujours égale à 180°, il suffit que deux triangles aient deux paires d'angles de même mesure pour qu'ils soient semblables. La troisième paire est alors nécessairement égale.
Vocabulaire :
C'est le point clé pour éviter les erreurs.
* Les sommets où se trouvent les angles égaux sont appelés sommets homologues.
* Les côtés opposés aux angles égaux sont appelés côtés homologues.
Exemple : Si $ \widehat{A} = \widehat{D} $, alors le côté $ [BC] $ (opposé à A) est homologue au côté $ [EF] $ (opposé à D).
2. Longueurs et proportionnalité
Propriété fondamentale
Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés homologues sont proportionnelles.
Exemple
Si $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec les correspondances de sommets $(A \leftrightarrow D), (B \leftrightarrow E), (C \leftrightarrow F)$, alors on a l'égalité des rapports :
* Le nombre $k$ est le coefficient de similitude.
* Si $ k > 1 $ : C'est un agrandissement.
* Si $ 0 < k < 1 $ : C'est une réduction.
Lien avec l'homothétie
L'image d'un triangle par une homothétie de rapport $k$ est un triangle semblable au triangle initial.
3. Méthodes et applications
Démontrer que deux triangles sont semblables (avec les 3 longueurs)
Énoncé :
Soit deux triangles $ABC$ et $DEF$ définis par les longueurs de leurs côtés :
* Triangle $ ABC $ : $ AB = 4 $, $ BC = 5 $, $ AC = 6 $.
* Triangle $ DEF $ : $ DE = 6 $, $ EF = 7.5 $, $ DF = 9 $.
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont-ils semblables ?
Résolution :
1. Ordonner les longueurs : On classe les côtés par ordre croissant pour chaque triangle afin d'identifier les homologues potentiels.
* Triangle $ABC$ : $4$ (petit), $5$ (moyen), $6$ (grand).
* Triangle $DEF$ : $6$ (petit), $7.5$ (moyen), $9$ (grand).
2. Calculer les rapports : On divise les longueurs du second par celles du premier (ou l'inverse).
* $ \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{6}{4} = 1.5 $
* $ \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{7.5}{5} = 1.5 $
* $ \dfrac{DF}{AC} = \dfrac{9}{6} = 1.5 $
3. Conclusion : Les trois rapports sont égaux, donc les longueurs des côtés sont deux à deux proportionnelles.
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables.
Calculer un rapport de réduction (Configuration triangle rectangle)
Énoncé : Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$. Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$.
On donne les longueurs entières suivantes : $AB=8$ cm et $AC=6$ cm.
1. Justifier que les triangles $ABC$ et $HAC$ sont semblables.
2. Calculer le coefficient de réduction $k$ permettant de passer du triangle $ABC$ au triangle $HAC$.
Résolution :
1. Similitude :
* Les triangles $ABC$ et $HAC$ ont l'angle $\widehat{C}$ en commun.
* Ils ont tous deux un angle droit ($\widehat{A}$ pour $ABC$, $\widehat{H}$ pour $HAC$).
* Ayant deux angles égaux, ils sont semblables.
2. Identifier les côtés homologues :
* On s'intéresse aux hypoténuses, car ce sont les côtés les plus faciles à identifier sans erreur.
* Hypoténuse de $ABC$ (grand triangle) : c'est le côté $[BC]$.
* Hypoténuse de $HAC$ (petit triangle) : c'est le côté $[AC]$ (car opposé à l'angle droit $\widehat{H}$).
3. Calculs :
* On calcule d'abord $BC$ avec le théorème de Pythagore dans $ABC$ :
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$.
* Le coefficient $k$ est le rapport d'une longueur du triangle image ($HAC$) par la longueur homologue du triangle initial ($ABC$) :
$ k = \dfrac{\text{Hypoténuse de } HAC}{\text{Hypoténuse de } ABC} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{6}{10} $
4. Conclusion :
Le coefficient de réduction est $ k = 0.6 $.
