La notion de triangles semblables est intuitivement liée à celle de forme. Deux figures sont semblables si elles ont la même forme, mais pas nécessairement la même taille. On peut passer de l’une à l’autre par un agrandissement ou une réduction (zoom).
1. Définition et angles
Définition
Deux triangles sont dits semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure.
Règle des deux angles
La somme des angles d’un triangle étant toujours égale à 180°, il suffit que deux triangles aient deux paires d’angles de même mesure pour qu’ils soient semblables. La troisième paire est alors nécessairement égale.
Vocabulaire : « Homologues »
C’est le point clé pour éviter les erreurs.
- Les sommets où se trouvent les angles égaux sont appelés sommets homologues.
- Les côtés opposés aux angles égaux sont appelés côtés homologues.
Exemple : Si $ \widehat{A} = \widehat{D} $, alors le côté $ [BC] $ (opposé à A) est homologue au côté $ [EF] $ (opposé à D).
2. Longueurs et proportionnalité
Propriété fondamentale
Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés homologues sont proportionnelles.
Exemple
Si $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec les correspondances de sommets $(A \leftrightarrow D), (B \leftrightarrow E), (C \leftrightarrow F)$, alors on a l’égalité des rapports :
- Le nombre $k$ est le coefficient de similitude.
- Si $ k > 1 $ : C’est un agrandissement.
- Si $ 0 < k < 1 $ : C'est une réduction.
Lien avec l’homothétie
L’image d’un triangle par une homothétie de rapport $k$ est un triangle semblable au triangle initial.
[alt: Triangles homothetiques]
« `
tikz
\begin{tikzpicture}[scale=2, line width=1.5pt, every node/.style={scale=2}]
% Center of homothety O
\coordinate (O) at (-1,0.5);
\node[left] at (O) {$O$};
\fill (O) circle (1pt);
% Original Triangle ABC
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (2,0);
\coordinate (C) at (0.5,1);
\draw[blue] (A) — (B) — (C) — cycle;
\node[below] at (A) {$A$};
\node[below] at (B) {$B$};
\node[above] at (C) {$C$};
% Homothety k=1.5 centered at O
% A’ = O + 1.5 * OA
% B’ = O + 1.5 * OB
% C’ = O + 1.5 * OC
\coordinate (Ap) at ($(O)!1.5!(A)$);
\coordinate (Bp) at ($(O)!1.5!(B)$);
\coordinate (Cp) at ($(O)!1.5!(C)$);
\draw[red] (Ap) — (Bp) — (Cp) — cycle;
\node[below] at (Ap) {$A’$};
\node[below right] at (Bp) {$B’$};
\node[above] at (Cp) {$C’$};
% Construction lines (dashed)
\draw[dashed, black] (O) — (Ap);
\draw[dashed, black] (O) — (Bp);
\draw[dashed, black] (O) — (Cp);
\end{tikzpicture}
« `
3. Méthodes et applications
Démontrer que deux triangles sont semblables (avec les 3 longueurs)
Énoncé :
Soit deux triangles $ABC$ et $DEF$ définis par les longueurs de leurs côtés :
- Triangle $ ABC $ : $ AB = 4 $, $ BC = 5 $, $ AC = 6 $.
- Triangle $ DEF $ : $ DE = 6 $, $ EF = 7.5 $, $ DF = 9 $.
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont-ils semblables ?
Résolution :
- Triangle $ABC$ : $4$ (petit), $5$ (moyen), $6$ (grand).
- Triangle $DEF$ : $6$ (petit), $7.5$ (moyen), $9$ (grand).
2. Calculer les rapports : On divise les longueurs du second par celles du premier (ou l’inverse).
- $ \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{6}{4} = 1.5 $
- $ \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{7.5}{5} = 1.5 $
- $ \dfrac{DF}{AC} = \dfrac{9}{6} = 1.5 $
3. Conclusion : Les trois rapports sont égaux, donc les longueurs des côtés sont deux à deux proportionnelles.
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables.
[alt: Deux triangles quelconques semblables mais d’orientations différentes]
« `
tikz
\begin{tikzpicture}[scale=2, line width=1.5pt, every node/.style={scale=2}]
% Triangle ABC (4, 5, 6)
% Construction: A at origin, C on x-axis (length 6). B computed.
% x_B = (4^2 + 6^2 – 5^2) / (2*6) = (16+36-25)/12 = 27/12 = 2.25
% y_B = sqrt(4^2 – 2.25^2) = sqrt(16 – 5.0625) = sqrt(10.9375) approx 3.31
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (C) at (6,0);
\coordinate (B) at (2.25, 3.31);
\draw (A) — (B) — (C) — cycle;
\node[left] at (A) {$A$};
\node[above] at (B) {$B$};
\node[right] at (C) {$C$};
% Label sides (optional, but helps clarity)
\node[below] at (3,0) {$6$};
\node[above left] at (1.125, 1.65) {$4$};
\node[above right] at (4.125, 1.65) {$5$};
% Triangle DEF (6, 7.5, 9) -> Scale 1.5
% Translated and Rotated
\begin{scope}[shift={(8,1)}, rotate=-30, scale=1.5]
\coordinate (D) at (0,0);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (E) at (2.25, 3.31);
\draw (D) — (E) — (F) — cycle;
\node[left] at (D) {$D$};
\node[above] at (E) {$E$};
\node[right] at (F) {$F$};
\node[below] at (3,0) {$9$};
\node[above left] at (1.125, 1.65) {$6$};
\node[above right] at (4.125, 1.65) {$7.5$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
« `
Calculer un rapport de réduction (Configuration triangle rectangle)
Énoncé : Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$. Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$.
On donne les longueurs entières suivantes : $AB=8$ cm et $AC=6$ cm.
Résolution :
- Les triangles $ABC$ et $HAC$ ont l’angle $\widehat{C}$ en commun.
- Ils ont tous deux un angle droit ($\widehat{A}$ pour $ABC$, $\widehat{H}$ pour $HAC$).
- Ayant deux angles égaux, ils sont semblables.
2. Identifier les côtés homologues :
- On s’intéresse aux hypoténuses, car ce sont les côtés les plus faciles à identifier sans erreur.
- Hypoténuse de $ABC$ (grand triangle) : c’est le côté $[BC]$.
- Hypoténuse de $HAC$ (petit triangle) : c’est le côté $[AC]$ (car opposé à l’angle droit $\widehat{H}$).
3. Calculs :
- On calcule d’abord $BC$ avec le théorème de Pythagore dans $ABC$ :
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$.
- Le coefficient $k$ est le rapport d’une longueur du triangle image ($HAC$) par la longueur homologue du triangle initial ($ABC$) :
$ k = \dfrac{\text{Hypoténuse de } HAC}{\text{Hypoténuse de } ABC} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{6}{10} $
Le coefficient de réduction est $ k = 0.6 $.
[alt: Triangle rectangle et sa hauteur (Configuration 6-8-10)]
« `
tikz
\begin{tikzpicture}[scale=2, line width=1.5pt, every node/.style={scale=2}]
% Triangle Rectangle ABC en A
% Proportions 3-4-5. AB=4 (horizontal), AC=3 (vertical).
% A(0,0), B(4,0), C(0,3).
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (0,3);
% Projection H of A onto BC
% BC is line connecting (4,0) and (0,3). Equation: y – 0 = (3-0)/(0-4) * (x – 4) => y = -0.75x + 3
% AH is perpendicular, passing through origin (0,0). Equation: y = (4/3)x => y = 1.333x
% Intersection: 1.333x = -0.75x + 3 => 2.0833x = 3 => x = 3 / 2.0833 = 1.44
% y = 1.333 * 1.44 = 1.92
\coordinate (H) at (1.44, 1.92);
\draw (A) — (B) — (C) — cycle;
\draw[dashed] (A) — (H);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[right] at (B) {$B$};
\node[above] at (C) {$C$};
\node[above right] at (H) {$H$};
% Mark Right Angles
\draw (0.3,0) — (0.3,0.3) — (0,0.3); % Angle A
% Angle H
% Vector HA direction is towards origin (down-left).
% Rotation -36.9 aligns X with HB (down-right).
% Y axis points up-right (away from A).
% We want the mark towards C (-X) and towards A (-Y).
\draw[rotate around={-36.9:(H)}] (H) rectangle ++(-0.3,-0.3);
\end{tikzpicture}
« `