Théorème de Pythagore – Trigonométrie
1. Théorème de Pythagore (rappels de 4ème)
Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.
Remarque
- On rappelle que l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit et le côté ayant la plus grande longueur.
- Ce théorème sert à calculer la longueur d'un côté connaissant les longueurs des deux autres lorsque l'on sait que le triangle est rectangle
Exemple
Soit $ ABC $ un triangle rectangle en $ A $ tel que $ AB=4 $cm et $ AC=3 $cm
D'après le théorème de Pythagore :
$ BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25 $
Donc $ BC=\sqrt{25}=5 $cm.
Théorème (Réciproque du théorème de Pythagore)
Un triangle est rectangle si et seulement si le carré de la longueur du plus grand coté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Remarque
Ce théorème sert à démontrer qu'un triangle est un triangle rectangle lorsqu'on connait les longueurs de ses trois côtés.
Exemple
Soit $ ABC $ un triangle tel que $ AB=12 $cm, $ AC=5 $cm et $ BC=13 $cm.
$ ABC $ est-il rectangle ?
On calcule séparément $ BC^{2} $ (carré de la longueur du plus grand coté) et $ AB^{2}+AC^{2} $ (somme des carrés des longueurs des deux autres cotés) :
$ BC^{2}=13^{2}=169 $
$ AB^{2}+AC^{2}=12^{2}+5^{2}=144+25=169 $
$ BC^{2} = AB^{2}+AC^{2} $ donc le triangle $ ABC $ est rectangle en $ A $ d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
2. Trigonométrie
Définition
Soit $ ABC $ un triangle rectangle en $ A $ :
- le sinus de $ \widehat{ABC} $ est le nombre :
$ \sin\left(\widehat{ABC}\right)= \dfrac{\text{longueur\ du\ côté\ opposé\ à\ B}}{\text{longueur\ de\ l} ^{\prime} \text{hypoténuse}} $ - le cosinus de $ \widehat{ABC} $ est le nombre :
$ \cos\left(\widehat{ABC}\right)= \dfrac{\text{longueur\ du\ côté\ adjacent\ à\ B}}{\text{longueur\ de\ l} ^{\prime} \text{hypoténuse}} $ - la tangente de $ \widehat{ABC} $ est le nombre :
$ \tan\left(\widehat{ABC}\right)= \dfrac{\text{longueur\ du\ côté\ opposé\ à\ B}}{\text{longueur\ du\ côté\ adjacent\ à\ B}} $
Exemple
Dans le triangle rectangle $ ABC $ ci-dessus :
- $ \sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{5}=0,6 $
- $ \cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{5}=0,8 $
- $ \tan\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}=0,75 $
Remarque
- Les sinus, cosinus et tangente n'ont pas d'unité !
- Les sinus et cosinus d'un angle aigu sont compris entre 0 et 1. Par contre, la tangente peut être supérieure à 1.
- Connaissant le sinus, il est possible de calculer la mesure de l'angle en degré à la calculatrice à l'aide de la touche $ \sin^{ - 1} $ (ou Arcsin ou asin suivant le modèle de la calculatrice). Vérifiez bien que la calculatrice est en mode degré !
Propriété
Pour tout angle aigu $ \widehat{a} $ d'un triangle rectangle :
Remarque
Pour simplifier les notations, on écrit en général $ \cos^{2} \widehat{a} $ pour $ \left(\cos \widehat{a}\right)^{2} $. La première formule s'écrit alors :
$ \cos^{2} \widehat{a}+\sin^{2} \widehat{a}=1 $
Démonstrations
- $ \cos \widehat{a}=\dfrac{AB}{BC} $ donc $ \left(\cos \widehat{a}\right)^{2}=\dfrac{AB^{2}}{BC^{2}} $
$ \sin \widehat{a}=\dfrac{AC}{BC} $ donc $ \left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}} $
Par conséquent :
$ \left(\cos \widehat{a}\right)^{2}+\left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=\dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}=\dfrac{AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}} $
Or d'après le théorème de Pythagore $ AB^{2}+AC^{2}=BC^{2} $ donc :
$ \left(\cos \widehat{a}\right)^{2}+\left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=\dfrac{BC^{2}}{BC^{2}}=1 $ après simplification par $ BC^{2} $ - $ \dfrac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}}=\dfrac{\dfrac{AC}{BC}}{\dfrac{AB}{BC}}=\dfrac{AC}{BC}\times \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AC}{AB} $ après simplification par $ BC $.
Or, $ \dfrac{AC}{AB}=\tan \widehat{a} $, par conséquent :
$ \tan \widehat{a}=\dfrac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}}. $
Exemple
On sait que le cosinus d'un angle $ \widehat{a} $ vaut $ 0,5 $. Calculer une valeur approchée à $ 10^{ - 2} $ du sinus puis de la tangente de cet angle.
$ \cos^{2} \widehat{a}+\sin^{2} \widehat{a}=1 $
$ \sin^{2} \widehat{a}=1 - \cos^{2}\widehat{a}=1 - 0,5^{2}=0,75 $
$ \sin \widehat{a}=\sqrt{0,75}\approx 0,87 $ à $ 10^{ - 2} $ près
$ \tan \widehat{a}=\dfrac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}}=\dfrac{\sqrt{0,75}}{0,5}\approx 1,73 $ à $ 10^{ - 2} $ près.