1. Théorème de Pythagore (rappels de 4ème)
Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.
Remarque
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On rappelle que l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et le côté ayant la plus grande longueur.
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Ce théorème sert à calculer la longueur d’un côté connaissant les longueurs des deux autres lorsque l’on sait que le triangle est rectangle
Exemple
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=4$cm et $AC=3$cm
D’après le théorème de Pythagore :
$ BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25$
Donc $BC=\sqrt{25}=5$cm.
Théorème (Réciproque du théorème de Pythagore)
Un triangle est rectangle si et seulement si le carré de la longueur du plus grand coté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Remarques
Ce théorème sert à démontrer qu’un triangle est un triangle rectangle lorsqu’on connait les longueurs de ses trois côtés.
Exemple
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=12$cm, $AC=5$cm et $BC=13$cm.
$ABC$ est-il rectangle ?
On calcule séparément $BC^{2}$ (carré de la longueur du plus grand coté) et $AB^{2}+AC^{2}$ (somme des carrés des longueurs des deux autres cotés) :
$BC^{2}=13^{2}=169$
$AB^{2}+AC^{2}=12^{2}+5^{2}=144+25=169$
$BC^{2} = AB^{2}+AC^{2}$ donc le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ d’après la réciproque du théorème de Pythagore.
2. Trigonométrie
Définitions
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ :
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le sinus de $\widehat{ABC}$ est le nombre :
$\sin\left(\widehat{ABC}\right)=$$\dfrac{\text{longueur\ du\ côté\ opposé\ à\ B}}{\text{longueur\ de\ l} ^{\prime} \text{hypoténuse}}$
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le cosinus de $\widehat{ABC}$ est le nombre :
$\cos\left(\widehat{ABC}\right)=$$\dfrac{\text{longueur\ du\ côté\ adjacent\ à\ B}}{\text{longueur\ de\ l} ^{\prime} \text{hypoténuse}}$
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la tangente de $\widehat{ABC}$ est le nombre :
$\tan\left(\widehat{ABC}\right)=$$\dfrac{\text{longueur\ du\ côté\ opposé\ à\ B}}{\text{longueur\ du\ côté\ adjacent\ à\ B}}$
Exemple
Dans le triangle rectangle $ABC$ ci-dessus :
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$\sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{5}=0,6$
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$\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{5}=0,8$
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$\tan\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}=0,75$
Remarques
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Les sinus, cosinus et tangente n’ont pas d’unité !
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Les sinus et cosinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1. Par contre, la tangente peut être supérieure à 1.
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Connaissant le sinus, il est possible de calculer la mesure de l’angle en degré à la calculatrice à l’aide de la touche $\sin^{ – 1}$ (ou Arcsin ou asin suivant le modèle de la calculatrice). Vérifiez bien que la calculatrice est en mode degré !
Propriétés
Pour tout angle aigu $\widehat{a}$ d’un triangle rectangle :
$\left(\cos \widehat{a}\right)^{2}+\left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=1$
$\tan \widehat{a}=\dfrac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}}$
Remarque
Pour simplifier les notations, on écrit en général $\cos^{2} \widehat{a}$ pour $\left(\cos \widehat{a}\right)^{2}$. La première formule s’écrit alors :
$\cos^{2} \widehat{a}+\sin^{2} \widehat{a}=1$
Démonstrations
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$\cos \widehat{a}=\dfrac{AB}{BC}$ donc $\left(\cos \widehat{a}\right)^{2}=\dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}$
$\sin \widehat{a}=\dfrac{AC}{BC}$ donc $\left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}$
Par conséquent :
$\left(\cos \widehat{a}\right)^{2}+\left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=\dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}=\dfrac{AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}$
Or d’après le théorème de Pythagore $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$ donc :
$\left(\cos \widehat{a}\right)^{2}+\left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=\dfrac{BC^{2}}{BC^{2}}=1$ après simplification par $BC^{2}$
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$\dfrac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}}=\dfrac{\dfrac{AC}{BC}}{\dfrac{AB}{BC}}=\dfrac{AC}{BC}\times \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AC}{AB}$ après simplification par $BC$.
Or, $\dfrac{AC}{AB}=\tan \widehat{a}$, par conséquent :
$\tan \widehat{a}=\dfrac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}}.$
Exemple
On sait que le cosinus d’un angle $\widehat{a}$ vaut $0,5$. Calculer une valeur approchée à $10^{ – 2}$ du sinus puis de la tangente de cet angle.
$\cos^{2} \widehat{a}+\sin^{2} \widehat{a}=1$
$\sin^{2} \widehat{a}=1 – \cos^{2}\widehat{a}=1 – 0,5^{2}=0,75$
$\sin \widehat{a}=\sqrt{0,75}\approx 0,87$ à $10^{ – 2}$ près
$\tan \widehat{a}=\dfrac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}}=\dfrac{\sqrt{0,75}}{0,5}\approx 1,73$ à $10^{ – 2}$ près.