Suites arithmétiques et géométriques
1. Suites arithmétiques
Définition
On dit qu'une suite $ \left(u_{n}\right) $ est une suite arithmétique s'il existe un nombre $ r $ tel que, pour tout $ n\in \mathbb{N} $ :
Le réel $ r $ s'appelle la raison de la suite arithmétique.
Remarque
Pour démontrer qu'une suite $ \left(u_{n}\right) $ est arithmétique, on pourra calculer la différence $ u_{n+1} - u_{n} $.
Si on constate que la différence est une constante $ r $, on pourra affirmer que la suite est arithmétique de raison $ r $.
Exemple
Soit la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par $ u_{n}=3n+5 $.
$ u_{n+1} - u_{n}=3\left(n+1\right)+5 - \left(3n+5\right) =3n+3+5 - 3n - 5=3 $
La suite $ \left(u_{n}\right) $ est une suite arithmétique de raison $ r=3 $
Propriété
Si la suite $ \left(u_{n}\right) $ est arithmétique de raison $ r $ alors pour tous entiers naturels $ n $ et $ k $ :
En particulier :
Exemple
Soit $ \left(u_{n}\right) $ la suite arithmétique de raison $ 2 $ et de premier terme $ u_{0}=5 $.
$ u_{100}=5+2\times 100=205 $
Propriété
Réciproquement, si $ a $ et $ b $ sont deux nombres réels et si la suite $ \left(u_{n}\right) $ est définie par $ u_{n}=a\times n+b $ alors cette suite est une suite arithmétique de raison $ r=a $ et de premier terme $ u_{0}=b $.
Démonstration
$ u_{n+1} - u_{n}=a\left(n+1\right)+b - \left(an+b\right) =an+a+b - an - b=a $
et
$ u_{0}=a\times 0+b=b $
Propriété
La représentation graphique d'une suite arithmétique est formée de points alignés.
Remarque
Cela se déduit immédiatement du fait que, pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ u_{n}=u_{0}+n\times r $ donc les points représentant la suite sont sur la droite d'équation $ y=rx+u_{0} $
Exemple
Suite arithmétique de premier terme $u_{0}=1$ et de raison $r=\dfrac{1}{2}$
Théorème
Soit $ \left(u_{n}\right) $ une suite arithmétique de raison $ r $ :
- si $ r > 0 $ alors $ \left(u_{n}\right) $ est strictement croissante
- si $ r=0 $ alors $ \left(u_{n}\right) $ est constante
- si $ r < 0 $ alors $ \left(u_{n}\right) $ est strictement décroissante.
Démonstration
Ce résultat découle immédiatement de $ u_{n+1} - u_{n}=r $
Théorème (Somme des premiers entiers)
Pour tout entier $ n \in \mathbb{N} $ :
Démonstration
Une démonstration astucieuse consiste à réécrire la somme en inversant l'ordre des termes :
$ S = 0 + 1 + 2 + . . . + n \quad $(1)
$ S = n + n - 1 + n - 2 + . . . + 0 \quad $(2)
Puis on additionne les lignes (1) et (2) termes à termes. Dans le membre de gauche on trouve que tous les termes sont égaux à $ n $ ($ 0+n=n $ ; $ 1+n - 1=n $ ; $ 2 + n - 2=n $, etc.). Comme en tout il y a $ n+1 $ termes on trouve :
$ S+S = n + n + n + . . . + n $
$ 2S = n\left(n+1\right) $
$ S = \dfrac{n\left(n+1\right)}{2} $
Exemple
Soit à calculer la somme $ S_{100}=1+2+. . .+100 $
$ S_{100}=\dfrac{100\times 101}{2}=50\times 101=5050 $
2. Suites géométriques
Définition
On dit qu'une suite $ \left(u_{n}\right) $ est une suite géométrique s'il existe un nombre réel $ q $ tel que, pour tout $ n\in \mathbb{N} $ :
Le réel $ q $ s'appelle la raison de la suite géométrique $ \left(u_{n}\right) $.
Remarque
Pour démontrer qu'une suite $ \left(u_{n}\right) $ dont les termes sont non nuls est une suite géométrique, on pourra calculer le rapport $ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} $.
Si ce rapport est une constante $ q $, on pourra affirmer que la suite est une suite géométrique de raison $ q $.
Exemple
Soit la suite $ \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} $ définie par $ u_{n}=\dfrac{3}{2^{n}} $.
Les termes de la suite sont tous strictement positifs et
$ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{3}{2^{n+1}} + \dfrac{3}{2^{n}} $
$ =\dfrac{3}{2^{n+1}}\times \dfrac{2^{n}}{3} =\dfrac{2^{n}}{2^{n+1}}$
$ =\dfrac{2^{n}}{2\times 2^{n}}=\dfrac{1}{2} $
La suite $ \left(u_{n}\right) $ est une suite géométrique de raison $ \dfrac{1}{2} $
Propriété
Si la suite $ \left(u_{n}\right) $ est géométrique de raison $ q $, pour tous entiers naturels $ n $ et $ k $ :
.
En particulier :
.
Propriété
Réciproquement, soient $ a $ et $ b $ deux nombres réels. La suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par $ u_{n}=a\times b^{n} $ suite est une suite géométrique de raison $ q=b $ et de premier terme $ u_{0}=a $.
Démonstration
$ u_{n+1}=a\times b^{n+1}=a\times b^{n}\times b=u_{n}\times b $
et
$ u_{0}=a\times b^{0}=a\times 1=a $
Théorème
Soit $ \left(u_{n}\right) $ suite géométrique de raison $ q > 0 $ et de premier terme strictement positif :
- Si q > 1, la suite $ \left(u_{n}\right) $ est strictement croissante
- Si 0 < q < 1, la suite $ \left(u_{n}\right) $ est strictement décroissante
- Si q=1, la suite $ \left(u_{n}\right) $ constante
Remarque
- Si le premier terme est strictement négatif, le sens de variation est inversé.
- Si la raison est strictement négative, la suite n'est ni croissante ni décroissante.
Théorème
Pour tout entier $ n \in \mathbb{N} $ et tout réel $ q\neq 1 $
Remarque
Cette formule n'est pas valable pour $ q=1 $. Mais dans ce cas tous les termes de la somme valent 1; la somme est donc égale au nombre de termes $ n+1 $
Démonstration
On multiplie chaque membre par $ q $. Cela incrémente chacun des exposants de $ q $ :
$ S = 1 + q + q^{2} + . . . + q^{n} \quad $(1)
$ qS = q + q^{2} + q^{3} + . . . + q^{n+1} \quad $(2)
On soustrait termes à termes les égalités (1) et (2); tous les termes se simplifient sauf le premier et le dernier :
$ S - qS = 1 - q+q - q^{2}+q^{2} - q^{3}+ . . . +q^{n} - q^{n+1} $
$ \left(1 - q\right)S = 1 - q^{n+1} $
$ S = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} $
Exemple
Soit à calculer la somme $ S=1+2+4+8+16. . .+2^{10} $
$ S=\dfrac{1 - 2^{10+1}}{1 - 2}=\dfrac{1 - 2048}{1 - 2} $
$\quad =\dfrac{ - 2047}{ - 1}=2047 $