1. Suites arithmétiques
Définition
On dit qu’une suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique s’il existe un nombre $r$ tel que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :
$u_{n+1}=u_{n}+r$
Le réel $r$ s’appelle la raison de la suite arithmétique.
Remarque
Pour démontrer qu’une suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique, on pourra calculer la différence $u_{n+1} – u_{n}$.
Si on constate que la différence est une constante $r$, on pourra affirmer que la suite est arithmétique de raison $r$.
Exemple
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{n}=3n+5$.
$u_{n+1} – u_{n}=3\left(n+1\right)+5 – \left(3n+5\right)$$=3n+3+5 – 3n – 5=3$
La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $r=3$
Propriété
Si la suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique de raison $r$ alors pour tous entiers naturels $n$ et $k$ :
$u_{n}=u_{k}+\left(n – k\right)\times r$
En particulier :
$u_{n}=u_{0}+n\times r$
Exemple
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite arithmétique de raison $2$ et de premier terme $u_{0}=5$.
$u_{100}=5+2\times 100=205$
Propriété
Réciproquement, si $a$ et $b$ sont deux nombres réels et si la suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par $u_{n}=a\times n+b$ alors cette suite est une suite arithmétique de raison $r=a$ et de premier terme $u_{0}=b$.
Démonstration
$u_{n+1} – u_{n}=a\left(n+1\right)+b – \left(an+b\right)$$=an+a+b – an – b=a$
et
$u_{0}=a\times 0+b=b$
Propriété
La représentation graphique d’une suite arithmétique est formée de points alignés.
Remarque
Cela se déduit immédiatement du fait que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n}=u_{0}+n\times r$ donc les points représentant la suite sont sur la droite d’équation $y=rx+u_{0}$
Exemple
Suite arithmétique de premier terme $u_{0}=1$ et de raison $r=\dfrac{1}{2}$
Théorème
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique de raison $r$ :
-
si $r > 0$ alors $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante
-
si $r=0$ alors $\left(u_{n}\right)$ est constante
-
si $r < 0$ alors $\left(u_{n}\right)$ est strictement décroissante.
Démonstration
Ce résultat découle immédiatement de $u_{n+1} – u_{n}=r$
Théorème (Somme des premiers entiers)
Pour tout entier $n \in \mathbb{N}$ :
$0+1+. . .+n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}$
Démonstration
Une démonstration astucieuse consiste à réécrire la somme en inversant l’ordre des termes :
$S = 0 + 1 + 2 + . . . + n $(1)
$S = n + n – 1 + n – 2 + . . . + 0 $(2)
Puis on additionne les lignes (1) et (2) termes à termes. Dans le membre de gauche on trouve que tous les termes sont égaux à $n$ ($0+n=n$ ; $1+n – 1=n$ ; $2 + n – 2=n$, etc.). Comme en tout il y a $n+1$ termes on trouve :
$S+S = n + n + n + . . . + n$
$2S = n\left(n+1\right)$
$S = \dfrac{n\left(n+1\right)}{2}$
Exemple
Soit à calculer la somme $S_{100}=1+2+. . .+100$.
$S_{100}=\dfrac{100\times 101}{2}=50\times 101=5050$
2. Suites géométriques
Définition
On dit qu’une suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique s’il existe un nombre réel $q$ tel que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :
$u_{n+1}=q \times u_{n}$
Le réel $q$ s’appelle la raison de la suite géométrique $\left(u_{n}\right)$.
Remarque
Pour démontrer qu’une suite $\left(u_{n}\right)$ dont les termes sont non nuls est une suite géométrique, on pourra calculer le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$.
Si ce rapport est une constante $q$, on pourra affirmer que la suite est une suite géométrique de raison $q$.
Exemple
Soit la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_{n}=\dfrac{3}{2^{n}}$.
Les termes de la suite sont tous strictement positifs et
$\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{3}{2^{n+1}}$÷$\dfrac{3}{2^{n}}$$=\dfrac{3}{2^{n+1}}\times \dfrac{2^{n}}{3}$$=\dfrac{2^{n}}{2^{n+1}}$$=\dfrac{2^{n}}{2\times 2^{n}}=\dfrac{1}{2}$
La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$
Propriété
Si la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison $q$, pour tous entiers naturels $n$ et $k$ :
$u_{n}=u_{k}\times q^{n – k}$.
En particulier :
$u_{n}=u_{0}\times q^{n}$.
Propriété
Réciproquement, soient $a$ et $b$ deux nombres réels. La suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{n}=a\times b^{n}$ suite est une suite géométrique de raison $q=b$ et de premier terme $u_{0}=a$.
Démonstration
$u_{n+1}=a\times b^{n+1}=a\times b^{n}\times b=u_{n}\times b$
et
$u_{0}=a\times b^{0}=a\times 1=a$
Théorème
Soit $\left(u_{n}\right) $une suite géométrique de raison $q > 0$ et de premier terme strictement positif :
-
Si q > 1, la suite $\left(u_{n}\right) $ est strictement croissante
-
Si 0 < q < 1, la suite $\left(u_{n}\right) $ est strictement décroissante
-
Si q=1, la suite $\left(u_{n}\right) $est constante
Remarques
-
Si le premier terme est strictement négatif, le sens de variation est inversé.
-
Si la raison est strictement négative, la suite n’est ni croissante ni décroissante.
Théorème
Pour tout entier $n \in \mathbb{N}$ et tout réel $q\neq 1$
$1+q+q^{2}+. . . +q^{n}=\dfrac{1 – q^{n+1}}{1 – q}$
Remarque
Cette formule n’est pas valable pour $q=1$. Mais dans ce cas tous les termes de la somme valent 1; la somme est donc égale au nombre de termes $n+1$
Démonstration
On multiplie chaque membre par $q$. Cela incrémente chacun des exposants de $q$ :
$S = 1 + q + q^{2} + . . . + q^{n} $(1)
$qS = q + q^{2} + q^{3} + . . . + q^{n+1} $(2)
On soustrait termes à termes les égalités (1) et (2); tous les termes se simplifient sauf le premier et le dernier :
$S – qS = 1 – q+q – q^{2}+q^{2} – q^{3}+ . . .$$ +q^{n} – q^{n+1} $
$\left(1 – q\right)S = 1 – q^{n+1} $
$S = \dfrac{1 – q^{n+1}}{1 – q}$
Exemple
Soit à calculer la somme $S=1+2+4+8+16. . .+2^{10}$
$S=\dfrac{1 – 2^{10+1}}{1 – 2}=\dfrac{1 – 2048}{1 – 2}$$=\dfrac{ – 2047}{ – 1}=2047$