Trigonométrie
1. Mesures en radians d'un angle orienté
Dans tout le chapitre, le plan $ \mathscr P $ est muni d'un repère orthonormé $ \left(O~; \vec{i} , \vec{j}\right) $.
Définition
Soit $ I $ le point de coordonnées $ \left(1~; 0\right) $ et $ d $ la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par $ I $.
A tout réel $ x $ on associe le point $ N $ de la droite $ d $ d'ordonnée $ x $ puis le point $ M $ obtenu en « enroulant » la droite $ d $ sur le cercle trigonométrique (voir figure ci-dessous).
On dit que $ x $ est une mesure en radians de l'angle orienté $ \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OM}\right) $
Mesures d'un angle orienté
Remarque
- Une infinités de points de la droite $ d $ se superposent à $ M $ par enroulement (en faisant plusieurs tours). Chaque angle possède une infinité de mesures qui diffèrent entre elles d'un multiple de $ 2\pi $. Si $ x $ est une mesure d'un angle, les autres mesures sont $ x+2\pi , x+4\pi , $ etc. et $ x - 2\pi , x - 4\pi $ , etc.
Ces différentes mesures s'écrivent $ x+2k\pi $ avec $ k \in \mathbb{Z} $ - On note de la même façon $ \left(\vec{u}, \vec{v}\right) $ l'angle orienté de $ \vec{u} $ vers $ \vec{v} $et la mesure en radians de cet angle.
Propriété et définition (Mesure principale)
Tout angle orienté $ \left(\vec{u}, \vec{v}\right) $ possède une unique mesure dans l'intervalle $ \left] - \pi ~; \pi \right] $.
Cette mesure s'appelle la mesure principalede l'angle $ \left(\vec{u}, \vec{v}\right) $.
Exemple
Soit un angle dont une mesure est $ - \dfrac{5\pi }{2} $. Comme $ - \dfrac{5\pi }{2} \notin \left] - \pi ~; \pi \right] $, ce n'est pas la mesure principale. Comme : $ - \dfrac{5\pi }{2} = - \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{4\pi }{2} = - \dfrac{\pi }{2} - 2\pi $ et $ - \dfrac{\pi }{2}\in \left] - \pi ~; \pi \right] $, $ - \dfrac{\pi }{2} $ est la mesure principale de cet angle.
Mesures d'angles à connaitre
Mesures d'angles remarquables
2. Sinus et cosinus - Équations trigonométriques
Définition
Soit $ M $ un point du cercle trigonométrique et $ x $ une mesure de l'angle $ \widehat{IOM} $.
On appelle cosinus de $ x $, noté $ \cos x $ l'abscisse du point $ M $.
On appelle sinus de $ x $, noté $ \sin x $ l'ordonnée du point $ M $
Sinus et cosinus
Remarque
Pour tout réel $ x $ :
- $ - 1 \leqslant \cos x \leqslant 1 $
- $ - 1 \leqslant \sin x \leqslant 1 $
- Comme $ M $ appartient au cercle trigonométrique, $ OM=1 $ donc $ OM^{2}=1=1 $ donc :
$ \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 $ ($ \sin^{2}x $ étant une écriture abrégée pour $ \left(\sin x\right)^{2} $
Valeurs de sinus et de cosinus à retenir
| $x$ | $0$ | $\dfrac{\pi }{6}$ | $\dfrac{\pi }{4}$ | $\dfrac{\pi }{3}$ | $\dfrac{\pi }{2}$ | $\dfrac{2\pi }{3}$ | $\dfrac{3\pi }{4}$ | $\dfrac{5\pi }{6}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-1$ |
| $\sin x$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
$\ $
| $x$ | $-\dfrac{\pi }{6}$ | $-\dfrac{\pi }{4}$ | $-\dfrac{\pi }{3}$ | $-\dfrac{\pi }{2}$ | $-\dfrac{2\pi }{3}$ | $-\dfrac{3\pi }{4}$ | $-\dfrac{5\pi }{6}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\sin x$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-1$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\dfrac{1}{2}$ |
Propriété
Pour tout réel $ x $ :
- $ \sin\left( - x\right)= - \sin\left(x\right) $
- $ \cos\left( - x\right)=\cos\left(x\right) $
- $ \sin\left(\pi +x\right)= - \sin\left(x\right) $
- $ \cos\left(\pi +x\right)= - \cos\left(x\right) $
Angles $ x $, $ -x $ et $ \pi +x $
Formules d'addition
Pour tous réels $ a $ et $ b $ :
- $ \cos\left(a+b\right)=\cos\left(a\right) \cos\left(b\right) - \sin\left(a\right) \sin\left(b\right) $
- $ \sin\left(a+b\right)=\sin\left(a\right) \cos\left(b\right)+\cos\left(a\right) \sin\left(b\right) $
Théorème
Soit $ a $ un réel fixé.
Les solutions de l'équation $ \cos\left(x\right)=\cos\left(a\right) $ sont les réels de la forme : $ a+2k\pi $ ou $ - a+2k\pi $ où $ k \in \mathbb{Z} $.
Exemple
On cherche à résoudre l'équation $ \cos\left(x\right)=0 $
On sait que $ \cos\left(\dfrac{\pi }{2}\right)=0 $ ce qui fournit une solution de l'équation mais permet aussi d'écrire l'équation sous la forme $ \cos\left(x\right)=\cos\left(\dfrac{\pi }{2}\right) $
D'après le théorème ci-dessus les solutions sont de la forme :
$ x=\dfrac{\pi }{2}+2k\pi $ ou $ x= - \dfrac{\pi }{2}+2k\pi $ avec $ k \in \mathbb{Z} $
Théorème
Soit $ a $ un réel fixé.
Les solutions de l'équation $ \sin\left(x\right)=\sin\left(a\right) $ sont les réels de la forme : $ a+2k\pi $ ou $ \pi - a+2k\pi $ où $ k \in \mathbb{Z} $.