1. Mesures en radians d’un angle orienté
Dans tout le chapitre, le plan $\mathscr P$ est muni d’un repère orthonormé $\left(O~; \vec{i} , \vec{j}\right)$.
Définition
Soit $I$ le point de coordonnées $\left(1~; 0\right)$ et $d$ la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par $I$.
A tout réel $x$ on associe le point $N$ de la droite $d$ d’ordonnée $x$ puis le point $M$ obtenu en « enroulant » la droite $d$ sur le cercle trigonométrique (voir figure ci-dessous).
On dit que $x$ est une mesure en radians de l’angle orienté $\left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OM}\right)$
Mesures d’un angle orienté
Remarque
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Une infinités de points de la droite $d$ se superposent à $M$ par enroulement (en faisant plusieurs tours). Chaque angle possède une infinité de mesures qui diffèrent entre elles d’un multiple de $2\pi $. Si $x$ est une mesure d’un angle, les autres mesures sont $x+2\pi , x+4\pi ,$ etc. et $x – 2\pi , x – 4\pi $ , etc.
Ces différentes mesures s’écrivent $x+2k\pi $ avec $k \in \mathbb{Z}$
-
On note de la même façon $\left(\vec{u}, \vec{v}\right)$ l’angle orienté de $\vec{u}$ vers $\vec{v}$et la mesure en radians de cet angle.
Propriété et définition (Mesure principale)
Tout angle orienté $\left(\vec{u}, \vec{v}\right)$ possède une unique mesure dans l’intervalle $\left] – \pi ~; \pi \right]$.
Cette mesure s’appelle la mesure principale de l’angle $\left(\vec{u}, \vec{v}\right)$.
Exemple
Soit un angle dont une mesure est $ – \dfrac{5\pi }{2}$. Comme $ – \dfrac{5\pi }{2} \notin \left] – \pi ~; \pi \right]$, ce n’est pas la mesure principale. Comme : $ – \dfrac{5\pi }{2} = – \dfrac{\pi }{2} – \dfrac{4\pi }{2} = – \dfrac{\pi }{2} – 2\pi $ et $ – \dfrac{\pi }{2}\in \left] – \pi ~; \pi \right]$, $ – \dfrac{\pi }{2}$ est la mesure principale de cet angle.
Mesures d’angles à connaitre
Mesures d’angles remarquables
2. Sinus et cosinus – Équations trigonométriques
Définition
Soit $M$ un point du cercle trigonométrique et $x$ une mesure de l’angle $\widehat{IOM}$.
On appelle cosinus de $x$, noté $\cos x$ l’abscisse du point $M$.
On appelle sinus de $x$, noté $\sin x$ l’ordonnée du point $M$
Sinus et cosinus
Remarques
Pour tout réel $x$ :
-
$ – 1 \leqslant \cos x \leqslant 1$
-
$ – 1 \leqslant \sin x \leqslant 1$
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Comme $M$ appartient au cercle trigonométrique, $OM=1$ donc $OM^{2}=1=1$ donc :
$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ ($\sin^{2}x$ étant une écriture abrégée pour $\left(\sin x\right)^{2}$)
Valeurs de sinus et de cosinus à retenir
| $x$ | $0$ | $\dfrac{\pi }{6}$ | $\dfrac{\pi }{4}$ | $\dfrac{\pi }{3}$ | $\dfrac{\pi }{2}$ | $\dfrac{2\pi }{3}$ | $\dfrac{3\pi }{4}$ | $\dfrac{5\pi }{6}$ | $\pi $ |
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $ – \dfrac{1}{2}$ | $ – \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $ – \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $ – 1$ |
| $\sin x$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $x$ | $ – \dfrac{\pi }{6}$ | $ – \dfrac{\pi }{4}$ | $ – \dfrac{\pi }{3}$ | $ – \dfrac{\pi }{2}$ | $ – \dfrac{2\pi }{3}$ | $ – \dfrac{3\pi }{4}$ | $ – \dfrac{5\pi }{6}$ |
| $\cos x$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $ – \dfrac{1}{2}$ | $ – \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $ – \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\sin x$ | $ – \dfrac{1}{2}$ | $ – \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $ – \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $ – 1$ | $ – \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $ – \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $ – \dfrac{1}{2}$ |
Propriétés
Pour tout réel $x$ :
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$\sin\left( – x\right)= – \sin\left(x\right)$
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$\cos\left( – x\right)=\cos\left(x\right)$
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$\sin\left(\pi +x\right)= – \sin\left(x\right)$
-
$\cos\left(\pi +x\right)= – \cos\left(x\right)$
Angles $x$, $ – x$ et $\pi+x$
Formules d’addition
Pour tous réels $a$ et $b$ :
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$\cos\left(a+b\right)=\cos\left(a\right) \cos\left(b\right) – \sin\left(a\right) \sin\left(b\right)$
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$\sin\left(a+b\right)=\sin\left(a\right) \cos\left(b\right)+\cos\left(a\right) \sin\left(b\right)$
Théorème
Soit $a$ un réel fixé.
Les solutions de l’équation $\cos\left(x\right)=\cos\left(a\right)$ sont les réels de la forme :
$a+2k\pi $ ou $ – a+2k\pi $ où $k$ décrit $\mathbb{Z}$
Exemple
On cherche à résoudre l’équation $\cos\left(x\right)=0$
On sait que $\cos\left(\dfrac{\pi }{2}\right)=0$ ce qui fournit une solution de l’équation mais permet aussi d’écrire l’équation sous la forme $\cos\left(x\right)=\cos\left(\dfrac{\pi }{2}\right)$
D’après le théorème ci-dessus les solutions sont de la forme :
$x=\dfrac{\pi }{2}+2k\pi $ ou $x= – \dfrac{\pi }{2}+2k\pi $ avec $k \in \mathbb{Z}$
Théorème
Soit $a$ un réel fixé.
Les solutions de l’équation $\sin\left(x\right)=\sin\left(a\right)$ sont les réels de la forme :
$a+2k\pi $ ou $ \pi – a+2k\pi $ où $k$ décrit $\mathbb{Z}$