Les règles de calculs, fractions, puissances
1 - Vocabulaire
Définition
- La somme de deux termes est le résultat de l'addition de ces nombres.
- La différence de deux termes est le résultat de la soustraction de ces nombres.
- Le produit de deux facteurs est le résultat de la multiplication de ces nombres.
Exemple
- $ 5 = 3+2 $ : $ \quad 5 $ est la somme des termes $ 3 $ et $ 2 $.
- $ 1 = 3 - 2 $ : $ \quad1 $ est la différence des termes $ 3 $ et $ 2 $.
- $ 6 = 3\times 2 $ : $ \quad6 $ est le produit des facteurs $ 3 $ et $ 2 $.
Remarque
On regroupe souvent somme et différence sous le même terme : somme algébrique. En effet, une soustraction d'un nombre positif correspond à une addition d'un nombre négatif.
Lorsqu'une expression contient plusieurs opérations, il s'agit :
- d'une somme algébrique si la dernière opération effectuée (la moins prioritaire) est une addition ou une soustraction. Par exemple : $ 2x - 3y $;
- d'un produit si la dernière opération effectuée (la moins prioritaire) est une multiplication. Par exemple : $ 3x\left(y - 3\right) $.
2 - Priorités de calculs
Propriété
- On effectue d'abord les calculs des expressions entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.
- Puis on effectue les puissances avant les multiplications, les divisions, les additions et les soustractions.
- Puis on effectue d'abord les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.
- Enfin, on effectue les calculs de la gauche vers la droite.
Dans une somme algébrique, on peut également regrouper ensemble les termes de même signe.
Exemple
- $ A=5 - 3\times 7+2\times \left(4 - 1\right) $
On effectue d'abord les parenthèses :
$ A=5 - 3\times 7+2\times 3 $
Puis les multiplications :
$ A=5 - 21+6 $
Puis les opérations restantes (en regroupant les termes positifs par exemple) :
$ A=5 - 21+6=11 - 21= - 10 $ - Attention à bien tenir compte de la priorité des opération même si l'expression contient des lettres. Par exemple :
$ B=5+\left(7 - 4\right)\times x $
On peut effectuer le calcul dans la parenthèse :
$ B=5+3\times x=5+3x $
On ne peut pas effectuer l'addition $ 5+3 $ car la multiplication $ 3\times x $ est prioritaire. On ne peut donc pas aller plus loin.
3 - Fractions
Propriété
- Pour additionner (ou soustraire) des fractions, on ajoute (ou on soustrait) leurs numérateurs, après les avoir mises au même dénominateur.
- Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en simplifiant au maximum.
- Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.
Exemple
- $ A=\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{5} $
$ A=\dfrac{3\times 5}{4\times 5} - \dfrac{2\times 4}{5\times 4} $
$ A=\dfrac{15}{20} - \dfrac{8}{20} $
$ A=\dfrac{7}{20} $ - $ B=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{5} $
$ B=\dfrac{3\times 2}{4 \times 5} $
$ B=\dfrac{3\times 2}{2\times 2\times 5} $
$ B=\dfrac{3}{10} $ - $ C=\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5} $
$ C=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{5}{2} $
$ C=\dfrac{3\times 5}{4\times 2} $
$ C=\dfrac{15}{8} $
4 - Puissances
Propriété
- Produit : $ a^{n}\times a^{m}=a^{n+m} $
- Inverse : $ \dfrac{1}{a^{m}}=a^{ - m} $
- Quotient :$ \dfrac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n - m} $
- Puissance de puissance :$ \left(a^{n}\right)^{m}=a^{n\times m} $
- Exposants identiques :$ a^{n}\times b^{n}=\left(ab\right)^{n} $
Exemple
- $ A=3^{2}\times 3^{3}=3^{2+3}=3^{5} $
- $ B=\dfrac{2^{3}}{2^{ - 4}}=2^{3 - \left( - 4\right)}=2^{7} $
- $ C=\left(10^{2}\right)^{ - 3}=10^{ - 6} $
Remarque
- Ces formules peuvent, bien sûr, être utilisées dans les deux sens. Par exemple, pour passer de $ \dfrac{1}{a^{m}} $ à $ a^{ - m} $ ou pour passer de $ a^{ - m} $ à $ \dfrac{1}{a^{m}} $
- Cas particulier de la dernière formule :
$ \left( - a\right)^{n}=\left( - 1\times a\right)^{n}=\left( - 1\right)^{n}\times a^{n} $
Donc pour $ n $ impair : $ \left( - a\right)^{n}= - a^{n} $ car alors $ \left( - 1\right)^{n}= - 1 $
Pour $ n $ pair : $ \left( - a\right)^{n}=a^{n} $ car alors $ \left( - 1\right)^{n}=1 $
Définition
On appelle écriture scientifique d'un nombre positif, la notation $ a\times 10^{n} $ avec $ n $ entier relatif et $ 1 \leqslant a < 10 $.
Remarque
L'encadrement $ 1 \leqslant a < 10 $ signifie que l'écriture décimale de $ a $ comporte un et un seul chiffre non nul avant la virgule.
Exemple
$ D=\dfrac{5\times 10^{5}\times 10^{ - 2}\times 7}{2\times 10^{7}} $
Donner l'écriture scientifique de $ D $, puis son écriture décimale.
On regroupe les puissances de 10 d'un coté et les nombres restants de l'autre:
$ D=\dfrac{5\times 7}{2}\times \dfrac{10^{5}\times 10^{ - 2}}{10^{7}} $
On simplifie :
$ D=\dfrac{35}{2}\times \dfrac{10^{3}}{10^{7}} $
$ D=17,5\times 10^{ - 4} $
L'écriture scientifique de $ D $ est :
$ D=1,75\times 10^{ - 3} $
L'écriture décimale de $ D $ est :
$ D=0,00175 $