1. Produit scalaire de deux vecteurs
Définition
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan.
On appelle produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ le nombre réel noté $\vec{u}.\vec{v}$ défini par :
$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)$
Remarques
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Attention : le produit scalaire est un nombre réel et non un vecteur !
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On rappelle que $||\overrightarrow{AB}||$ (norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$) désigne la longueur du segment $AB$.
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Si l’un des vecteurs $\vec{u}$ ou $\vec{v}$ est nul, $\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)$ n’est pas défini; on considèrera alors que le produit scalaire $\vec{u}.\vec{v}$ vaut $0$
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Le cosinus d’un angle étant égal au cosinus de l’angle opposé : $\cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right)=\cos\left(\vec{v}, \vec{u}\right)$. Par conséquent $\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$
Exemple
$ABC$ est un triangle équilatéral dont le côté mesure $1$ unité.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=1\times 1\times \cos\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{1}{2}$
Propriété
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si : $\vec{u}.\vec{v}=0$
Démonstration
Si l’un des vecteurs est nul le produit scalaire est nul et la propriété est vraie puisque, par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.
Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles donc :
$\vec{u}.\vec{v}=0 \Leftrightarrow ||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
Propriété
Pour tous vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ et tout réel $k$ :
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$\left(k\vec{u}\right).\vec{v}=k \left(\vec{u}.\vec{v}\right)$
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$\vec{u}.\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$
Définition et propriété
Soit $\vec{u}$ un vecteur du plan. Le carré scalaire de $\vec{u}$ est le réel positif ou nul :
$\vec{u}^{2}=\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||^{2}$
Démonstration
Le cosinus d’un angle nul vaut $1$ donc $\cos\left(\vec{u}, \vec{u}\right)=1$. Par conséquent :
$\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||\times ||\vec{u}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{u}\right)=||\vec{u}||^{2}$
Théorème
Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :
$\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2} \left(||\vec{u}+\vec{v}||^{2} – ||\vec{u}||^{2} – ||\vec{v}||^{2}\right)$
Démonstration
$||\vec{u}+\vec{v}||^{2}=\left(\vec{u}+\vec{v}\right)^{2}=\vec{u}^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+\vec{v}^{2}=||\vec{u}||^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+||\vec{v}||^{2}$
Par conséquent :
$||\vec{u}+\vec{v}||^{2} – ||\vec{u}||^{2} – ||\vec{v}||^{2}=2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)$
et l’on obtient l’égalité souhaitée en divisant chaque membre par $2$.
Remarque
De la même manière, en développant $(\vec{u} – \vec{v})^{2}$ on obtient :
$\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2} \left(||\vec{u}||^{2}+||\vec{v}||^{2} – ||\vec{u} – \vec{v}||^{2}\right)$
Exemple
$ABCD$ est un parallélogramme tel que $AB=6$, $AC=4$ et $BC=5$.
On souhaite calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}||^{2} – ||\overrightarrow{AB}||^{2} – ||\overrightarrow{AD}||^{2}\right)$
Or $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ d’après la relation de Chasles. Par conséquent :
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AC}||^{2} – ||\overrightarrow{AB}||^{2} – ||\overrightarrow{AD}||^{2}\right)$
$\phantom{{AB}.{AD}}=\dfrac{1}{2}\left(AC^{2} – AB^{2} – AD^{2}\right)$
$\phantom{{AB}.{AD}}=\dfrac{1}{2}\left(16 – 36 – 25\right)= – \dfrac{45}{2}$
Théorème
Soient $A, B, C$ trois points du plan et $H$ la projection orthogonale de $C$ sur la droite $\left(AB\right)$
Alors :
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$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH $ si l’angle $\widehat{BAC}$ est aigu
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$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= – AB\times AH $ si l’angle $\widehat{BAC}$ est obtus
Ici : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH$
Exemple
Sur la figure ci-dessus où l’unité est le carreau, le point $C$ se projette orthogonalement sur la droite $\left(AB\right)$ en un point $H$ (non représenté) tel que $AH=2$.
Par conséquent, l’angle $\widehat{BAC}$ étant aigu :
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH=3\times 2=6$
Théorème
Le plan étant rapporté à un repère orthonormé $\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right)$, soient $\vec{u}\left(x; y\right)$ et $\vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ deux vecteurs du plan; alors :
$\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}$
Démonstration
Dire que $\vec{u}$ a pour coordonnées $\left(x ; y\right)$ signifie que $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$. De même $\vec{v}=x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}$
$\vec{u}.\vec{v}=\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right).\left(x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}\right)=xx^{\prime}\vec{i}^{2}+xy^{\prime}\vec{i}.\vec{j}+x^{\prime}y\vec{i}.\vec{j}+yy^{\prime}\vec{j}^{2}$
Or, comme le repère $\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right)$ est orthonormé, $\vec{i}^{2}=||\vec{i}||^{2}=1$, $\vec{j}^{2}=||\vec{j}||^{2}=1$ et $\vec{i}.\vec{j}=0$. Par conséquent :
$\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}$
2. Applications du produit scalaire
Théorème (de la médiane)
Soient $ABC$ un triangle quelconque et $I$ le milieu de $\left[BC\right]$. Alors :
$AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+\dfrac{BC^{2}}{2}$
Médiane dans un triangle
Remarque
La démonstration est laissée en exercice : Exercice théorème de la médiane
Propriété (Formule d’Al Kashi)
Soit $ABC$ un triangle quelconque :
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} – 2 AB\times AC \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)$
Remarque
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La démonstration est faite en exercice : Exercice formule d’Al Kashi
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Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ alors $\cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=0$. On retrouve alors le théorème de Pythagore.
Définition (Vecteur normal à une droite)
On dit qu’un vecteur $\vec{n}$ non nul est normal à la droite $d$ si et seulement si il est orthogonal à un vecteur directeur de $d$.
Vecteur $\vec{n}$ normal à la droite $d$
Théorème
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O, \vec{i}, \vec{j}\right)$
La droite $d$ de vecteur normal $\vec{n} \left(a ; b\right)$ admet une équation cartésienne de la forme :
$ax+by+c=0$
où $a$, $b$ sont les coordonnées de $\vec{n}$ et $c$ un nombre réel.
Réciproquement, l’ensemble des points $M\left(x ; y\right)$ tels que $ax+by+c=0$ ($a, b, c$ étant des réels avec $a\neq 0$ ou $b\neq 0$) est une droite dont un vecteur normal est $\vec{n}\left(a ; b\right)$.
Remarque
La démonstration est laissée en exercice : Exercice vecteur normal à une droite
Théorème (équation cartésienne d’un cercle)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O, \vec{i}, \vec{j}\right)$.
Soit $I \left(x_{I} ; y_{I}\right)$ un point quelconque du plan et $r$ un réel positif.
Une équation du cercle de centre $I$ et de rayon $r$ est :
$\left(x – x_{I}\right)^{2}+\left(y – y_{I}\right)^{2}=r^{2}$
Démonstration
Le point $M \left(x ; y\right)$ appartient au cercle si et seulement si $IM=r$. Comme $IM$ et $r$ sont positif cela équivaut à $IM^{2}=r^{2}$. Or $IM^{2}= \left(x – x_{I}\right)^{2}+\left(y – y_{I}\right)^{2}$; on obtient donc le résultat souhaité.
Exemple
Le cercle de centre $\Omega \left(3;4\right)$ et de rayon $5$ a pour équation :
$\left(x – 3\right)^{2}+\left(y – 4\right)^{2}=25$
$x^{2} – 6x+9+y^{2} – 8y+16=25$
$x^{2} – 6x+y^{2} – 8y=0$
Ce cercle passe par $O$ car on obtient une égalité juste en remplaçant $x$ et $y$ par $0$.
Une autre utilisation du produit scalaire est la démonstration des formules d’addition des sinus et cosinus (voir exercice soustraction des cosinus)