Produit scalaire
1. Produit scalaire de deux vecteurs
Définition
Soient $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ deux vecteurs non nuls du plan.
On appelle produit scalaire de $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ le nombre réel noté $ \vec{u}.\vec{v} $ défini par :
Remarque
- Attention : le produit scalaire est un nombre réel et non un vecteur !
- On rappelle que $ ||\overrightarrow{AB}|| $ (norme du vecteur $ \overrightarrow{AB} $) désigne la longueur du segment $ AB $.
- Si l'un des vecteurs $ \vec{u} $ ou $ \vec{v} $ est nul, $ \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right) $ n'est pas défini; on considèrera alors que le produit scalaire $ \vec{u}.\vec{v} $ vaut $ 0 $
- Le cosinus d'un angle étant égal au cosinus de l'angle opposé : $ \cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right)=\cos\left(\vec{v}, \vec{u}\right) $. Par conséquent $ \vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u} $
Exemple
$ ABC $ est un triangle équilatéral dont le côté mesure $ 1 $ unité.
$ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=1\times 1\times \cos\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{1}{2} $
Propriété
Deux vecteurs $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ sont orthogonaux si et seulement si : $ \vec{u}.\vec{v}=0 $
Démonstration
Si l'un des vecteurs est nul le produit scalaire est nul et la propriété est vraie puisque, par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.
Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles donc :
$ \vec{u}.\vec{v}=0 \Leftrightarrow ||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \vec{u} $ et $ \vec{v} $ sont orthogonaux
Propriété
Pour tous vecteurs $ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} $ et tout réel $ k $ :
- $ \left(k\vec{u}\right).\vec{v}=k \left(\vec{u}.\vec{v}\right) $
- $ \vec{u}.\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w} $
Définition et propriété
Soit $ \vec{u} $ un vecteur du plan. Le carré scalaire de $ \vec{u} $ est le réel positif ou nul :
$ \vec{u}^{2}=\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||^{2} $
Démonstration
Le cosinus d'un angle nul vaut $ 1 $ donc $ \cos\left(\vec{u}, \vec{u}\right)=1 $. Par conséquent :
$ \vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||\times ||\vec{u}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{u}\right)=||\vec{u}||^{2} $
Théorème
Pour tous vecteurs $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ :
Démonstration
$ ||\vec{u}+\vec{v}||^{2}=\left(\vec{u}+\vec{v}\right)^{2}=\vec{u}^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+\vec{v}^{2}=||\vec{u}||^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+||\vec{v}||^{2} $
Par conséquent :
$ ||\vec{u}+\vec{v}||^{2} - ||\vec{u}||^{2} - ||\vec{v}||^{2}=2\left(\vec{u}.\vec{v}\right) $
et l'on obtient l'égalité souhaitée en divisant chaque membre par $ 2 $.
Remarque
De la même manière, en développant $ (\vec{u} - \vec{v})^{2} $ on obtient :
Exemple
$ ABCD $ est un parallélogramme tel que $ AB=6 $, $ AC=4 $ et $ BC=5 $.
On souhaite calculer $ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} $
$ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}||^{2} - ||\overrightarrow{AB}||^{2} - ||\overrightarrow{AD}||^{2}\right) $
Or $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} $ d'après la relation de Chasles. Par conséquent :
$ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AC}||^{2} - ||\overrightarrow{AB}||^{2} - ||\overrightarrow{AD}||^{2}\right) $
$ \phantom{{AB}.{AD}}=\dfrac{1}{2}\left(AC^{2} - AB^{2} - AD^{2}\right) $
$ \phantom{{AB}.{AD}}=\dfrac{1}{2}\left(16 - 36 - 25\right)= - \dfrac{45}{2} $
Théorème
Soient $ A, B, C $ trois points du plan et $ H $ la projection orthogonale de $ C $ sur la droite $ \left(AB\right) $
Alors :
- $ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH $ si l'angle $ \widehat{BAC} $ est aigu
- $ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= - AB\times AH $ si l'angle $ \widehat{BAC} $ est obtus
Ici : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH$
Exemple
Sur la figure ci-dessus où l'unité est le carreau, le point $ C $ se projette orthogonalement sur la droite $ \left(AB\right) $ en un point $ H $ (non représenté) tel que $ AH=2 $.
Par conséquent, l'angle $ \widehat{BAC} $ étant aigu :
$ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH=3\times 2=6 $
Théorème
Le plan étant rapporté à un repère orthonormé $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $ soient $ \vec{u}\left(x; y\right) $ et $ \vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) $ deux vecteurs du plan; alors :
Démonstration
Dire que $ \vec{u} $ a pour coordonnées $ \left(x ; y\right) $ signifie que $ \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j} $. De même $ \vec{v}=x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j} $
$ \vec{u}.\vec{v}=\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right).\left(x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}\right)=xx^{\prime}\vec{i}^{2}+xy^{\prime}\vec{i}.\vec{j}+x^{\prime}y\vec{i}.\vec{j}+yy^{\prime}\vec{j}^{2} $
Or, comme le repère $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $ est orthonormé, $ \vec{i}^{2}=||\vec{i}||^{2}=1 $, $ \vec{j}^{2}=||\vec{j}||^{2}=1 $ et $ \vec{i}.\vec{j}=0 $ Par conséquent :
$ \vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime} $
2. Applications du produit scalaire
Théorème (de la médiane)
Soient $ ABC $ un triangle quelconque et $ I $ le milieu de $ \left[BC\right] $. Alors :
Médiane dans un triangle
Remarque
La démonstration est laissée en exercice : Exercice théorème de la médiane
Propriété (Formule d'Al Kashi)
Soit $ ABC $ un triangle quelconque :
Remarque
- La démonstration est faite en exercice : Exercice formule d'Al Kashi
- Si le triangle $ ABC $ est rectangle en $ A $ alors $ \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=0 $. On retrouve alors le théorème de Pythagore.
Définition (Vecteur normal à une droite)
On dit qu'un vecteur $ \vec{n} $ non nul est normal à la droite $ d $ si et seulement si il est orthogonal à un vecteur directeur de $ d $.
Vecteur $\vec{n}$ normal à la droite $d$
Théorème
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $ \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right) $
La droite $ d $ de vecteur normal $ \vec{n} \left(a ; b\right) $ admet une équation cartésienne de la forme :
où $ a $, $ b $ sont les coordonnées de $ \vec{n} $ et $ c $ un nombre réel.
Réciproquement, l'ensemble des points $ M\left(x ; y\right) $ tels que $ ax+by+c=0 $ ($ a, b, c $ étant des réels avec $ a\neq 0 $ ou $ b\neq 0 $) est une droite dont un vecteur normal est $ \vec{n}\left(a ; b\right) $.
Remarque
La démonstration est laissée en exercice : Exercice vecteur normal à une droite
Théorème (équation cartésienne d'un cercle)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $ \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right) $.
Soit $ I \left(x_{I} ; y_{I}\right) $ un point quelconque du plan et $ r $ un réel positif.
Une équation du cercle de centre $ I $ et de rayon $ r $ est :
Démonstration
Le point $ M \left(x ; y\right) $ appartient au cercle si et seulement si $ IM=r $. Comme $ IM $ et $ r $ sont positif cela équivaut à $ IM^{2}=r^{2} $. Or $ IM^{2}= \left(x - x_{I}\right)^{2}+\left(y - y_{I}\right)^{2} $; on obtient donc le résultat souhaité.
Exemple
Le cercle de centre $ \Omega \left(3;4\right) $ et de rayon $ 5 $ a pour équation :
$ \left(x - 3\right)^{2}+\left(y - 4\right)^{2}=25 $
$ x^{2} - 6x+9+y^{2} - 8y+16=25 $
$ x^{2} - 6x+y^{2} - 8y=0 $
Ce cercle passe par $ O $ car on obtient une égalité juste en remplaçant $ x $ et $ y $ par $ 0 $.
Une autre utilisation du produit scalaire est la démonstration des formules d'addition des sinus et cosinus (voir exercice soustraction des cosinus)