1. Représentation géométrique d’un nombre complexe
Le plan $\left(P\right)$ est muni d’un repère orthonormé $\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right)$
Définitions
A tout nombre complexe $z=a+ib$, on associe le point $M$ de coordonnées $\left(a ; b\right)$
On dit que $M$ est l’image de $z$ et que $z$ est l’affixe du point $M$.
A tout vecteur $\vec{k}$ de coordonnées $\left(a ; b\right)$ on associe le nombre complexe $z=a+ib$.
On dit que $z$ est l’affixe du vecteur $\vec{k}$.
Propriétés
-
$M$ appartient à l’axe des abscisses si et seulement si son affixe $z$ est un nombre réel
-
$M$ appartient à l’axe des ordonnées si et seulement si son affixe $z$ est un nombre imaginaire pur
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Deux nombres complexes conjugués ont des affixes symétriques par rapport à l’axe des abscisses
Propriétés
Soient $A$ et $B$ deux points d’affixes respectives $z_{A}$ et $z_{B}$.
-
l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est égale à :
$z_{\overrightarrow{AB}}= z_{B} – z_{A}$
-
l’affixe du milieu $M$ du segment $\left[AB\right]$ est égale à :
$z_{M}= \dfrac{z_{A}+z_{B}}{2}$
Propriétés
Soient $\vec{w}\left(z\right)$ et $\overrightarrow{w^{\prime}}\left(z^{\prime}\right)$ deux vecteurs du plan et $k$ un nombre réel.
-
Le vecteur $\vec{w}+\overrightarrow{w^{\prime}}$ a pour affixe $z+z^{\prime}$ ;
-
Le vecteur $k\vec{w}$ a pour affixe $kz$.
2. Forme trigonométrique
Définition
Soit $z$ un nombre complexe non nul d’image $M$ dans le repère $\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right)$.
On appelle module de $z$, et on note $|z|$ le nombre réel positif ou nul $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.
On appelle argument de $z$ et on note $\text{arg}\left(z\right)$ une mesure, exprimée en radians, de l’angle
$\left(\vec{u}; \overrightarrow{OM}\right)$.
Propriétés des modules
Pour tous nombres complexes $z$ et $z^{\prime}$ :
-
$|z|^{2} = z\times \overline{z}$
-
$|zz^{\prime}| = |z|\times |z^{\prime}|$
-
$|\dfrac{z}{z^{\prime}}| = \dfrac{|z|}{|z^{\prime}|} $ pour $z^{\prime}\neq 0$
Propriétés des arguments
Pour tous nombres complexes $z$ et $z^{\prime}$ non nuls et tout entier $n\in \mathbb{Z}$ :
-
$\text{arg}\left(\overline{z}\right)= – \text{arg}\left(z\right)$
-
$\text{arg}\left(zz^{\prime}\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left(z^{\prime}\right)$
-
$\text{arg}\left(z^{n}\right)=n\times \text{arg}\left(z\right)$
-
$\text{arg}\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)=\text{arg}\left(z\right) – \text{arg}\left(z^{\prime}\right)$
Remarque
En particulier :
-
$\text{arg}\left( – z\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left( – 1\right) = \text{arg}\left(z\right)+\pi $
-
$\text{arg}\left(\dfrac{1}{z}\right)=\text{arg}\left(1\right) – \text{arg}\left(z\right) = – \text{arg}\left(z\right)$.
Théorème et définition
Soit $z$ un nombre complexe non nul de module $r$ et d’argument $\theta $ :
$z=r\left(\cos\theta + i \sin\theta \right)$
Cette écriture s’appelle forme trigonométrique du nombre $z$.
Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique
Soit $z=a+ib$ un nombre complexe non nul.
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$r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
-
$\theta =\text{arg}\left(z\right)$ est défini par :
$\cos \theta = \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ et $ \sin \theta = \dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$.
Exemple
Soit $z=\sqrt{3}+i$.
$|z|=\sqrt{3+1}=2$
Si $\theta $ est un argument de $z$ :
$\cos \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ et $ \sin \theta =\dfrac{1}{2}$ donc $\theta =\dfrac{\pi }{6} \left(\text{mod. } 2\pi \right)$
La forme trigonométrique de $z$ est donc :
$z=2\left(\cos \dfrac{\pi }{6} + i \sin \dfrac{\pi }{6}\right) $.
Angle de vecteurs et arguments
Soit $A, B$ et $C$ trois points du plan d’afixes respectives $z_{A}$,$z_{B}$, $z_{C}$ avec $A\neq B$ et $A\neq C$ :
$\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)= \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}}\right)$.
Remarques
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Notez bien l’ordre des affixes (inverse de l’ordre des points dans l’écriture de l’angle).
-
Premier cas particulier important :
$A, B$ et $C$ sont alignés
$\phantom{A, B} \Leftrightarrow \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}}\right) = 0~\text{ou}~\pi~\left[\text{mod. } 2\pi \right] $
$\phantom{A, B} \Leftrightarrow \dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}} \in \mathbb{R}$. -
Second cas particulier important :
$\widehat{BAC}$ est un angle droit
$\phantom{A, B} \Leftrightarrow \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}}\right) = \pm \dfrac{\pi }{2} ~ \left[\text{mod. } 2\pi \right] $
$\phantom{A, B} \Leftrightarrow \dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}}$ est un imaginaire pur.
3. Forme exponentielle
Notation
Si $z$ est un nombre complexe de module $r$ et d’argument $\theta $, la notation exponentielle du nombre $z$ est :
$z=re^{i\theta }$
Remarque
Ce sont les propriétés des arguments :
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$\text{arg}\left(zz^{\prime}\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left(z^{\prime}\right)$
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$\text{arg}\left(z^{n}\right)=n\times \text{arg}\left(z\right)$
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$\text{arg}\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)=\text{arg}\left(z\right) – \text{arg}\left(z^{\prime}\right)$
similaires aux propriétés de l’exponentielle qui justifient cette notation.
Exemple
Le nombre $ – 1$ a pour module $1$ et pour argument $\pi \left(\text{mod. } 2\pi \right)$. On peut donc écrire :
$ – 1=e^{i\pi }$ ou encore $e^{i\pi }+1=0$.
C’est la célèbre identité d’Euler qui relie $0$, $1$, $e$, $i$ et $\pi $.
Les propriétés des arguments vues précédemment s’écrivent alors :
Propriétés
Pour tous réels $\theta $ et $\theta ^{\prime}$ :
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$e^{i\theta }\times e^{i\theta ^{\prime}}=e^{i\left(\theta +\theta ^{\prime}\right)}$
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$\left(e^{i\theta }\right)^{n}=e^{in\theta }$
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$\dfrac{e^{i\theta }}{e^{i\theta ^{\prime}}}=e^{i\left(\theta – \theta ^{\prime}\right)}$.