1. Ensemble des nombres complexes
Théorème et Définition
On admet qu’il existe un ensemble de nombres (appelés nombres complexes), noté $\mathbb{C}$ tel que:
-
$\mathbb{C}$ contient $\mathbb{R}$
-
$\mathbb{C}$ est muni d’une addition et d’une multiplication qui suivent des règles de calcul analogues à celles de $\mathbb{R}$
-
$\mathbb{C}$ contient un nombre noté $i$ tel que $i^{2}= – 1$
-
Chaque élément $z$ de $\mathbb{C}$ s’écrit de manière unique sous la forme $z=a+ib$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
Exemple
$\sqrt{5}+\dfrac{1}{2}i$ , $ 3i $ et $ \sqrt{2}$ sont des nombres complexes ($\sqrt{2}$ est un nombre réel mais comme $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ c’est aussi un nombre complexe !)
Remarque
Attention : On définit une addition et une multiplication sur $\mathbb{C}$ mais on ne définit pas de relation d’ordre (comme $\leqslant $). En effet il n’est pas possible de définir une telle relation qui soit compatible avec celle définie sur $\mathbb{R}$ et possède les même propriétés que dans $\mathbb{R}$.
Dans les exercices, attention donc à ne pas écrire de choses comme $z < z^{\prime}$, si $z$ et $z^{\prime}$ sont des nombres complexes non réels !
Définitions
-
L’écriture $ z = a+ib$ est appelée la forme algébrique du nombre complexe $z$.
-
Le nombre réel $a$ s’appelle la partie réelle du nombre complexe $z$.
-
Le nombre réel $b$ s’appelle la partie imaginaire du nombre complexe $z$.
-
Si la partie réelle de $z$ est nulle (c’est à dire $a=0$ et $z=bi$), on dit que $z$ est un imaginaire pur .
Propriété
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
Remarques
-
Cela résulte immédiatement du fait que chaque élément de $\mathbb{C}$ s’écrit de manière unique sous la forme $z=a+ib$.
-
En particulier, un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelles et imaginaires sont nulles.
2. Conjugué
Définition
Soit $z$ le nombre complexe $z=a+ib$.On appelle conjugué de $z$, le nombre complexe
$\overline{z}=a – ib$.
Exemple
Soit $z=3+4i$
Le conjugué de $z$ est $\overline{z}=3 – 4i$.
Propriétés des conjugués
Pour tous nombres complexes $z$ et $z^{\prime}$ et tout entier naturel $n$ :
-
$\overline{z+z^{\prime}} = \overline{z}+\overline{z}^{\prime}$
-
$\overline{zz^{\prime}} = \overline{z}\times \overline{z}^{\prime}$
-
$\overline{\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}} $ pour $z^{\prime}\neq 0$
-
$\overline{\left(z^{n}\right)} = \left(\overline{z}\right)^{n}$.
Remarques
-
Par contre, en général, $|z+z^{\prime}|$ n’est pas égal à $|z|+|z^{\prime}|$. On peut juste montrer que $|z+z^{\prime}| \leqslant |z|+|z^{\prime}|$ (inégalité triangulaire) ;
-
ROC : La démonstration de certaines de ces propriétés a été demandée au Bac 2014.
3. Équation du second degré à coefficients réels
Propriété
Soient $a$, $b$, $c $ trois réels avec $a\neq 0$.
Dans $\mathbb{C}$, l’équation $az^{2}+bz+c=0$ admet toujours au moins une solution.
Plus précisément, si on note $\Delta $ son discriminant ($\Delta =b^{2} – 4ac$) :
-
Si $\Delta > 0$, l’équation possède deux solutions réelles :
$z_{1}=\dfrac{ – b – \sqrt{\Delta }}{2a} $ et $ z_{2}=\dfrac{ – b+\sqrt{\Delta }}{2a}$
-
Si $\Delta = 0$, l’équation possède une solution réelle :
$z=\dfrac{ – b}{2a} $
-
Si $\Delta < 0$, l'équation possède deux solutions complexes conjuguées l’une de l’autre :
$z_{1}=\dfrac{ – b – i\sqrt{ – \Delta }}{2a} $ et $ z_{2}=\dfrac{ – b+i\sqrt{ – \Delta }}{2a}$.
Exemple
Soit à résoudre l’équation $z^{2}+2z+2=0$ dans $\mathbb{C}$
$\Delta =4 – 8= – 4$
$\Delta < 0$ donc l'équation admet 2 racines complexes conjuguées :
$z_{1}=\dfrac{ – 2 – i\sqrt{4}}{2}= – 1 – i $ et $ z_{2}=\dfrac{ – 2+i\sqrt{4}}{2}= – 1+i$.
4. Représentation géométrique
Le plan $\left(P\right)$ est muni d’un repère orthonormé $\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right)$
Définitions
A tout nombre complexe $z=a+ib$, on associe le point $M$ de coordonnées $\left(a ; b\right)$
On dit que $M$ est l’image de $z$ et que $z$ est l’affixe du point $M$.
A tout vecteur $\vec{k}$ de coordonnées $\left(a ; b\right)$ on associe le nombre complexe $z=a+ib$.
On dit que $z$ est l’affixe du vecteur $\vec{k}$.
Propriétés
-
$M$ appartient à l’axe des abscisses si et seulement si son affixe $z$ est un nombre réel
-
$M$ appartient à l’axe des ordonnées si et seulement si son affixe $z$ est un nombre imaginaire pur
-
Deux nombres complexes conjugués ont des affixes symétriques par rapport à l’axe des abscisses
Propriétés
Soient $A$ et $B$ deux points d’affixes respectives $z_{A}$ et $z_{B}$.
-
l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est égale à :
$z_{\overrightarrow{AB}}= z_{B} – z_{A}$
-
l’affixe du milieu $M$ du segment $\left[AB\right]$ est égale à :
$z_{M}= \dfrac{z_{A}+z_{B}}{2}$
Propriétés
Soient $\vec{w}\left(z\right)$ et $\overrightarrow{w^{\prime}}\left(z^{\prime}\right)$ deux vecteurs du plan et $k$ un nombre réel.
-
Le vecteur $\vec{w}+\overrightarrow{w^{\prime}}$ a pour affixe $z+z^{\prime}$ ;
-
Le vecteur $k\vec{w}$ a pour affixe $kz$.
5. Forme trigonométrique
Définition
Soit $z$ un nombre complexe non nul d’image $M$ dans le repère $\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right)$.
On appelle module de $z$, et on note $|z|$ le nombre réel positif ou nul $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.
On appelle argument de $z$ et on note $\text{arg}\left(z\right)$ une mesure, exprimée en radians, de l’angle
$\left(\vec{u}; \overrightarrow{OM}\right)$.
Propriétés des modules
Pour tous nombres complexes $z$ et $z^{\prime}$ :
-
$|z|^{2} = z\times \overline{z}$
-
$|zz^{\prime}| = |z|\times |z^{\prime}|$
-
$|\dfrac{z}{z^{\prime}}| = \dfrac{|z|}{|z^{\prime}|} $ pour $z^{\prime}\neq 0$
Propriétés des arguments
Pour tous nombres complexes $z$ et $z^{\prime}$ non nuls et tout entier $n\in \mathbb{Z}$ :
-
$\text{arg}\left(\overline{z}\right)= – \text{arg}\left(z\right)$
-
$\text{arg}\left(zz^{\prime}\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left(z^{\prime}\right)$
-
$\text{arg}\left(z^{n}\right)=n\times \text{arg}\left(z\right)$
-
$\text{arg}\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)=\text{arg}\left(z\right) – \text{arg}\left(z^{\prime}\right)$
Remarque
En particulier :
-
$\text{arg}\left( – z\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left( – 1\right) = \text{arg}\left(z\right)+\pi $
-
$\text{arg}\left(\dfrac{1}{z}\right)=\text{arg}\left(1\right) – \text{arg}\left(z\right) = – \text{arg}\left(z\right)$.
Théorème et définition
Soit $z$ un nombre complexe non nul de module $r$ et d’argument $\theta $ :
$z=r\left(\cos\theta + i \sin\theta \right)$
Cette écriture s’appelle forme trigonométrique du nombre $z$.
Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique
Soit $z=a+ib$ un nombre complexe non nul.
-
$r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
-
$\theta =\text{arg}\left(z\right)$ est défini par :
$\cos \theta = \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ et $ \sin \theta = \dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$.
Exemple
Soit $z=\sqrt{3}+i$.
$|z|=\sqrt{3+1}=2$
Si $\theta $ est un argument de $z$ :
$\cos \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ et $ \sin \theta =\dfrac{1}{2}$ donc $\theta =\dfrac{\pi }{6} \left(\text{mod. } 2\pi \right)$
La forme trigonométrique de $z$ est donc :
$z=2\left(\cos \dfrac{\pi }{6} + i \sin \dfrac{\pi }{6}\right) $.
Angle de vecteurs et arguments
Soit $A, B$ et $C$ trois points du plan d’afixes respectives $z_{A}$,$z_{B}$, $z_{C}$ avec $A\neq B$ et $A\neq C$ :
$\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)= \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}}\right)$.
Remarques
-
Notez bien l’ordre des affixes (inverse de l’ordre des points dans l’écriture de l’angle).
-
Premier cas particulier important :
$A, B$ et $C$ sont alignés
$\phantom{A, B} \Leftrightarrow \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}}\right) = 0~\text{ou}~\pi~\left[\text{mod. } 2\pi \right] $
$\phantom{A, B} \Leftrightarrow \dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}} \in \mathbb{R}$. -
Second cas particulier important :
$\widehat{BAC}$ est un angle droit
$\phantom{A, B} \Leftrightarrow \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}}\right) = \pm \dfrac{\pi }{2} ~ \left[\text{mod. } 2\pi \right] $
$\phantom{A, B} \Leftrightarrow \dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}}$ est un imaginaire pur.
6. Forme exponentielle
Notation
Si $z$ est un nombre complexe de module $r$ et d’argument $\theta $, la notation exponentielle du nombre $z$ est :
$z=re^{i\theta }$
Remarque
Ce sont les propriétés des arguments :
-
$\text{arg}\left(zz^{\prime}\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left(z^{\prime}\right)$
-
$\text{arg}\left(z^{n}\right)=n\times \text{arg}\left(z\right)$
-
$\text{arg}\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)=\text{arg}\left(z\right) – \text{arg}\left(z^{\prime}\right)$
similaires aux propriétés de l’exponentielle qui justifient cette notation.
Exemple
Le nombre $ – 1$ a pour module $1$ et pour argument $\pi \left(\text{mod. } 2\pi \right)$. On peut donc écrire :
$ – 1=e^{i\pi }$ ou encore $e^{i\pi }+1=0$.
C’est la célèbre identité d’Euler qui relie $0$, $1$, $e$, $i$ et $\pi $.
Les propriétés des arguments vues précédemment s’écrivent alors :
Propriétés
Pour tous réels $\theta $ et $\theta ^{\prime}$ :
-
$e^{i\theta }\times e^{i\theta ^{\prime}}=e^{i\left(\theta +\theta ^{\prime}\right)}$
-
$\left(e^{i\theta }\right)^{n}=e^{in\theta }$
-
$\dfrac{e^{i\theta }}{e^{i\theta ^{\prime}}}=e^{i\left(\theta – \theta ^{\prime}\right)}$.