Nombres complexes et algèbre
1. Ensemble des nombres complexes
Théorème et Définition
On admet qu'il existe un ensemble de nombres (appelés nombres complexes), noté $ \mathbb{C} $ tel que:
- $ \mathbb{C} $ contient $ \mathbb{R} $
- $ \mathbb{C} $ est muni d'une addition et d'une multiplication qui suivent des règles de calcul analogues à celles de $ \mathbb{R} $
- $ \mathbb{C} $ contient un nombre noté $ i $ tel que $ i^{2}= - 1 $
- Chaque élément $ z $ de $ \mathbb{C} $ s'écrit de manière unique sous la forme $ z=a+ib $ où $ a $ et $ b $ sont deux réels.
Exemple
$ \sqrt{5}+\dfrac{1}{2}i $ , $ 3i $ et $ \sqrt{2} $ sont des nombres complexes ($ \sqrt{2} $ est un nombre réel mais comme $ \mathbb{R}\subset\mathbb{C} $ c'est aussi un nombre complexe !)
Remarque
Attention :On définit une addition et une multiplication sur $ \mathbb{C} $ mais on ne définit pas de relation d'ordre (comme $ \leqslant $). En effet il n'est pas possible de définir une telle relation qui soit compatible avec celle définie sur $ \mathbb{R} $ et possède les même propriétés que dans $ \mathbb{R} $.
Dans les exercices, attention donc à ne pas écrire de choses comme $ z < z^{\prime} $, si $ z $ et $ z^{\prime} $ sont des nombres complexes non réels !
Définition
- L'écriture $ z = a+ib $ est appelée la forme algébrique du nombre complexe $ z $.
- Le nombre réel $ a $ s'appelle la partie réelle du nombre complexe $ z $.
- Le nombre réel $ b $ s'appelle la partie imaginaire du nombre complexe $ z $.
- Si la partie réelle de $ z $ est nulle (c'est à dire $ a=0 $ et $ z=bi $), on dit que $ z $ est un imaginaire pur .
Propriété
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
Remarque
- Cela résulte immédiatement du fait que chaque élément de $ \mathbb{C} $ s'écrit de manière unique sous la forme $ z=a+ib $.
- En particulier, un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelles et imaginaires sont nulles.
2. Conjugué
Définition
Soit $ z $ le nombre complexe $ z=a+ib $.On appelle conjugué de $ z $, le nombre complexe
.
Exemple
Soit $ z=3+4i $
Le conjugué de $ z $ est $ \overline{z}=3 - 4i $.
Propriétés des conjugués
Pour tous nombres complexes $ z $ et $ z^{\prime} $ et tout entier naturel $ n $ :
- $ \overline{z+z^{\prime}} = \overline{z}+\overline{z}^{\prime} $
- $ \overline{zz^{\prime}} = \overline{z}\times \overline{z}^{\prime} $
- $ \overline{\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}} $ pour $ z^{\prime}\neq 0 $
- $ \overline{\left(z^{n}\right)} = \left(\overline{z}\right)^{n} $.
Remarque
- Par contre, en général, $ |z+z^{\prime}| $ n'est pas égal à $ |z|+|z^{\prime}| $. On peut juste montrer que $ |z+z^{\prime}| \leqslant |z|+|z^{\prime}| $ (inégalité triangulaire) ;
- ROC : La démonstration de certaines de ces propriétés a été demandée au Bac 2014.
3. Équation du second degré à coefficients réels
Propriété
Soient $ a $, $ b $, $ c $ trois réels avec $ a\neq 0 $.
Dans $ \mathbb{C} $, l'équation $ az^{2}+bz+c=0 $ admet toujours au moins une solution.
Plus précisément, si on note $ \Delta $ son discriminant ($ \Delta =b^{2} - 4ac $) :
- Si $ \Delta > 0 $, l'équation possède deux solutions réelles :
$ z_{1}=\dfrac{ - b - \sqrt{\Delta }}{2a} $ et $ z_{2}=\dfrac{ - b+\sqrt{\Delta }}{2a} $ - Si $ \Delta = 0 $, l'équation possède une solution réelle :
$ z=\dfrac{ - b}{2a} $ - Si $ \Delta < 0 $, l'équation possède deux solutions complexes conjuguées l'une de l'autre :
$ z_{1}=\dfrac{ - b - i\sqrt{ - \Delta }}{2a} $ et $ z_{2}=\dfrac{ - b+i\sqrt{ - \Delta }}{2a} $.
Exemple
Soit à résoudre l'équation $ z^{2}+2z+2=0 $ dans $ \mathbb{C} $
$ \Delta =4 - 8= - 4 $
$ \Delta < 0 $ donc l'équation admet 2 racines complexes conjuguées :
$ z_{1}=\dfrac{ - 2 - i\sqrt{4}}{2}= - 1 - i $ et $ z_{2}=\dfrac{ - 2+i\sqrt{4}}{2}= - 1+i $.
4. Représentation géométrique
Le plan $ \left(P\right) $ est muni d'un repère orthonormé $ \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) $
Définition
A tout nombre complexe $ z=a+ib $, on associe le point $ M $ de coordonnées $ \left(a ; b\right) $
On dit que $ M $ est l'image de $ z $ et que $ z $ est l'affixe du point $ M $.
A tout vecteur $ \vec{k} $ de coordonnées $ \left(a ; b\right) $ on associe le nombre complexe $ z=a+ib $.
On dit que $ z $ est l'affixe du vecteur $ \vec{k} $.
Propriété
- $ M $ appartient à l'axe des abscisses si et seulement si son affixe $ z $ est un nombre réel
- $ M $ appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si son affixe $ z $ est un nombre imaginaire pur
- Deux nombres complexes conjugués ont des affixes symétriques par rapport à l'axe des abscisses
Propriété
Soient $ A $ et $ B $ deux points d'affixes respectives $ z_{A} $ et $ z_{B} $.
l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ est égale à :
$ z_{\overrightarrow{AB}}= z_{B} - z_{A} $l'affixe du milieu $ M $ du segment $ \left[AB\right] $ est égale à :
$ z_{M}= \dfrac{z_{A}+z_{B}}{2} $
Propriété
Soient $ \vec{w}\left(z\right) $ et $ \overrightarrow{w^{\prime}}\left(z^{\prime}\right) $ deux vecteurs du plan et $ k $ un nombre réel.
- Le vecteur $ \vec{w}+\overrightarrow{w^{\prime}} $ a pour affixe $ z+z^{\prime} $ ;
- Le vecteur $ k\vec{w} $ a pour affixe $ kz $.
5. Forme trigonométrique
Définition
Soit $ z $ un nombre complexe non nul d'image $ M $ dans le repère $ \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) $.
On appelle module de $ z $, et on note $ |z| $ le nombre réel positif ou nul $ |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} $.
On appelle argument de $ z $ et on note $ \text{arg}\left(z\right) $ une mesure, exprimée en radians, de l'angle
$ \left(\vec{u}; \overrightarrow{OM}\right) $.
Propriétés des modules
Pour tous nombres complexes $ z $ et $ z^{\prime} $ :
- $ |z|^{2} = z\times \overline{z} $
- $ |zz^{\prime}| = |z|\times |z^{\prime}| $
- $ |\dfrac{z}{z^{\prime}}| = \dfrac{|z|}{|z^{\prime}|} $ pour $ z^{\prime}\neq 0 $
Propriétés des arguments
Pour tous nombres complexes $ z $ et $ z^{\prime} $ non nuls et tout entier $ n\in \mathbb{Z} $ :
- $ \text{arg}\left(\overline{z}\right)= - \text{arg}\left(z\right) $
- $ \text{arg}\left(zz^{\prime}\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left(z^{\prime}\right) $
- $ \text{arg}\left(z^{n}\right)=n\times \text{arg}\left(z\right) $
- $ \text{arg}\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)=\text{arg}\left(z\right) - \text{arg}\left(z^{\prime}\right) $
Remarque
En particulier :
- $ \text{arg}\left( - z\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left( - 1\right) = \text{arg}\left(z\right)+\pi $
- $ \text{arg}\left(\dfrac{1}{z}\right)=\text{arg}\left(1\right) - \text{arg}\left(z\right) = - \text{arg}\left(z\right) $.
Théorème et définition
Soit $ z $ un nombre complexe non nul de module $ r $ et d'argument $ \theta $ :
Cette écriture s'appelle forme trigonométrique du nombre $ z $.
Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique
Soit $ z=a+ib $ un nombre complexe non nul.
- $ r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} $
- $ \theta =\text{arg}\left(z\right) $ est défini par :
$ \cos \theta = \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} $ et $ \sin \theta = \dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} $.
Exemple
Soit $ z=\sqrt{3}+i $.
$ |z|=\sqrt{3+1}=2 $
Si $ \theta $ est un argument de $ z $ :
$ \cos \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ et $ \sin \theta =\dfrac{1}{2} $ donc $ \theta =\dfrac{\pi }{6} \left(\text{mod. } 2\pi \right) $
La forme trigonométrique de $ z $ est donc :
$ z=2\left(\cos \dfrac{\pi }{6} + i \sin \dfrac{\pi }{6}\right) $.
Angle de vecteurs et arguments
Soit $ A, B $ et $ C $ trois points du plan d'afixes respectives $ z_{A} $,$ z_{B} $, $ z_{C} $ avec $ A\neq B $ et $ A\neq C $ :
$ \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)= \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right) $.
Remarque
- Notez bien l'ordre des affixes (inverse de l'ordre des points dans l'écriture de l'angle).
- Premier cas particulier important :
$ A, B $ et $ C $ sont alignés
$ \phantom{A, B} \Leftrightarrow \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right) = 0~\text{ou}~\pi~\left[\text{mod. } 2\pi \right] $
$ \phantom{A, B} \Leftrightarrow \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} \in \mathbb{R} $. - Second cas particulier important :
$ \widehat{BAC} $ est un angle droit
$ \phantom{A, B} \Leftrightarrow \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right) = \pm \dfrac{\pi }{2} ~ \left[\text{mod. } 2\pi \right] $
$ \phantom{A, B} \Leftrightarrow \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} $ est un imaginaire pur.
6. Forme exponentielle
Notation
Si $ z $ est un nombre complexe de module $ r $ et d'argument $ \theta $, la notation exponentielle du nombre $ z $ est :
Remarque
Ce sont les propriétés des arguments :
- $ \text{arg}\left(zz^{\prime}\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left(z^{\prime}\right) $
- $ \text{arg}\left(z^{n}\right)=n\times \text{arg}\left(z\right) $
- $ \text{arg}\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)=\text{arg}\left(z\right) - \text{arg}\left(z^{\prime}\right) $
similaires aux propriétés de l'exponentielle qui justifient cette notation.
Exemple
Le nombre $ - 1 $ a pour module $ 1 $ et pour argument $ \pi \left(\text{mod. } 2\pi \right) $. On peut donc écrire :
$ - 1=e^{i\pi } $ ou encore $ e^{i\pi }+1=0 $.
C'est la célèbre identité d'Euler qui relie $ 0 $, $ 1 $, $ e $, $ i $ et $ \pi $.
Les propriétés des arguments vues précédemment s'écrivent alors :
Propriété
Pour tous réels $ \theta $ et $ \theta ^{\prime} $ :
- $ e^{i\theta }\times e^{i\theta ^{\prime}}=e^{i\left(\theta +\theta ^{\prime}\right)} $
- $ \left(e^{i\theta }\right)^{n}=e^{in\theta } $
- $ \dfrac{e^{i\theta }}{e^{i\theta ^{\prime}}}=e^{i\left(\theta - \theta ^{\prime}\right)} $.