I – Rappels de probabilités
Définitions
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.
Chacun des résultats possibles s’appelle une éventualité (ou une issue ou un évènement élémentaire)
L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers de l’expérience.
Exemple
Par exemple, le lancer d’un dé à six faces est une expérience aléatoire. « Obtenir un 6 avec le dé » est une éventualité. L’univers possède 6 éventualités; on peut le représenter par l’ensemble:
$\Omega =\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$
Définition
Soit une expérience aléatoire ayant comme univers:
$\Omega =\left\{x_{1}; x_{2};. . .; x_{n}\right\}$
On définit une probabilité sur $\Omega $ en associant, à chaque éventualité $x_{i}$, un réel $p_{i}$ compris entre 0 et 1 tel que la somme de tous les $p_{i}$ soit égale à 1.
Remarques
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En pratique, pour définir les probabilités $p_{i}$ on peut effectuer un très grand nombre de fois l’expérience aléatoire. La fréquence des résultats obtenus permet d’obtenir une estimation de la loi de probabilité. Par exemple, si en lançant 1 000 000 de fois un dé, on obtient 166 724 fois la face « 6 » on considérera que la probabilité d’obtenir un « 6 » est d’environ $\dfrac{166\ 724}{1\ 000\ 000} \approx \dfrac{1}{6}$
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A condition de faire certaines hypothèses (par exemple : « le dé n’est pas truqué« ) les théorèmes qui suivent permettent de calculer les lois de probabilité de certaines expériences sans avoir recours aux statistiques. Les statistiques peuvent alors servir à valider les hypothèses que l’on a faites au départ.
Définition et propriété
On dit que l’on est en situation d’équiprobabilité si toutes les éventualités on la même probabilité.
Cette probabilité est alors $p=\dfrac{1}{n}$ où $n$ est le nombre total d’éventualités.
Remarque
Dans les exercices, on considérera qu’il y a équiprobabilité si l’énoncé indique que l’on jette une pièce « équilibrée« , qu’on lance un dé « non truqué« , qu’on tire une carte « au hasard » , etc.
Exemples
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Si l’on jette une pièce non truquée, la probabilité d’obtenir pile est $p=\dfrac{1}{2}$
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Pour un dé à six faces non truqué, la probabilité d’obtenir une face donnée est $p=\dfrac{1}{6}$
II – Variables aléatoires
Définition
On définit une variable aléatoire en associant un nombre réel à chaque éventualité d’une expérience aléatoire.
Exemples
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On mise 1€ sur le numéro 1 à la roulette. On gagne 35€ (36€ – la mise) si le numéro sort. On perd sa mise (soit 1€) dans les autres cas. On peut définir une variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. Cette variable aléatoire peut prendre la valeur 35 (en cas de gain) ou -1 (en cas de perte).
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On lance 4 fois une pièce de monnaie. On peut définir une variable aléatoire égale au nombre de « faces » obtenues.
Les valeurs possibles pour cette variable sont : 0; 1; 2; 3 ou 4.
Notations
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On note généralement une variable aléatoire à l’aide d’une lettre majuscule (le plus souvent $X$)
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Si la variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs $a_{1}, a_{2}, . . . a_{n}$, on note $\left(X=a_{i}\right)$ l’évènement : « $X$ prend la valeur $a_{i}$ »
Définition
La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ associe à chaque valeur $a_{i}$ prise par $X$ la probabilité de l’événement $\left(X = a_{i}\right)$.
On la représente généralement sous forme de tableau.
Exemples
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Si l’on reprend l’exemple de la roulette (ci-dessus) et si on suppose que la probabilité de sortie de chacun des 37 numéros (0 à 36) est égale, la probabilité de gain est de $\dfrac{1}{37}$ et la probabilité de perte $\dfrac{36}{37}$.
La loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
$a_{i}$ $ – 1$ $35$ $p\left(X=a_{i}\right)$ $\dfrac{36}{37}$ $\dfrac{1}{37}$ -
Si on lance 4 fois une pièce de monnaie équilibrée, on montre à l’aide d’un arbre que la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de « faces » obtenues suit la loi de probabilité donnée par le tableau ci-dessous :
$a_{i}$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $p\left(X=a_{i}\right)$ $\dfrac{1}{16}$ $\dfrac{1}{4}$ $\dfrac{3}{8}$ $\dfrac{1}{4}$ $\dfrac{1}{16}$
Définition (Espérance mathématique)
Soit $X$ une variable aléatoire qui prend les valeurs $x_{i}$ avec les probabilités $p_{i}=p\left(X=x_{i}\right)$.
On appelle espérance mathématique de $X$ le nombre :
$E\left(X\right)= x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+. . . +x_{n}\times p_{n} $$= \sum_{i=1}^{n}p_{i} x_{i}$
Remarque
Ce nombre peut s’interpréter comme une valeur moyenne de $X$ si l’on répète un grand nombre de fois l’expérience.
Exemple
Pour l’exemple de la roulette on a :
$E\left(X\right)= – 1\times \dfrac{36}{37}+35\times \dfrac{1}{37}= – \dfrac{1}{37}$
L’espérance est négative, ce qui signifie qu’en moyenne, le jeu n’est pas favorable au joueur.
Définition (Variance – Ecart-type)
Soit $X$ une variable aléatoire d’espérance mathématique $\overline X$.
La variance de la variable aléatoire $X$ est le nombre réel positif :
$V\left(X\right)=E\left(\left(X – \overline X\right)^{2}\right)$
L’écart-type est égal à la racine carrée de la variance :
$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}$
Remarque
D’après la définition de la variance, si $X$ les valeurs $x_{i}$ avec les probabilités $p_{i}$ :
$V\left(X\right)=\sum_{i=1}^{n}p_{i}\left(x_{i} – \overline X\right)^{2}$
En développant les carrés, on montre que la variance peut également s’écrire :
$V\left(X\right) = E\left(X^{2}\right) – \overline X^{2} =\left(\sum_{i=1}^{n}p_{i} x_{i}^{2}\right) – \overline X^{2}$
Propriétés
Soit $X$ une variable aléatoire qui prend les valeurs $x_{i}$ avec les probabilités $p_{i}$. On note $aX+b$ la variable aléatoire qui prend les valeurs $ax_{i}+b$ avec les mêmes probabilités $p_{i}$.
On a alors :
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$E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b$
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$V\left(aX+b\right)=a^{2}\times V\left(X\right)$
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$\sigma \left(aX+b\right)=|a|\times \sigma \left(X\right)$
Exemple
Soit $X$ un variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euro à un jeu d’argent.
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Si on augmente les gains de 1 euro, l’espérance mathématique augmentera de 1, la variance et l’écart-type ne seront pas modifiés ($a=1 ; b=1$).
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Si on double les gains, l’espérance mathématique et l’écart-type seront doublés, la variance sera quadruplée ($a=2 ; b=0$).