1. Définitions
Définition
Une matrice de dimension (ou d’ordre or de taille) $n\times p$ est un tableau de nombres réels (appelés coefficients ou termes) comportant $n$ lignes et $p$ colonnes.
Si on désigne par $a_{ij}$ le coefficient situé à la $i$-ième ligne et la $j$-ième colonne la matrice s’écrira :
$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{np} \end{pmatrix}.$
Exemple
La matrice $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ est une matrice de dimension $2\times 3$.
Notations
On notera, en abrégé, $A=\left(a_{ij}\right)$ la matrice dont le coefficient situé à la $i$-ème ligne et la $j$-ième colonne est $a_{ij}$.
Définitions
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Une matrice carrée est une matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes.
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Une matrice ligne est une matrice dont le nombre de lignes est égal à $1$.
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Une matrice colonne est une matrice dont le nombre de colonnes est égal à $1$.
Exemples
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La matrice $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ est une matrice carrée (de dimension $2\times 2$ – ou on peut dire, plus simplement, de dimension 2).
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La matrice $B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0,5 \end{pmatrix}$ est une matrice ligne (de dimension $1\times 3$).
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La matrice $C=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$ est une matrice colonne (de dimension $4\times 1$).
Remarque
Pour une matrice carrée, on appelle diagonale principale, la diagonale qui relie le coin situé en haut à gauche au coin situé en bas à droite. Sur l’exemple ci-dessous, les coefficients de la diagonale principale sont marqués en rouge :
$A=\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 3 & 4 \\ 2 & \color{red}{3} & 4 & 5 \\ 3 & 4 & \color{red}{5} & 6 \\ 4 & 5 & 6 & \color{red}{7} \end{pmatrix}$.
Définitions
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La matrice nulle de dimension $n\times p$ est la matrice de dimension $n\times p$ dont tous les coefficients sont nuls.
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Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tout les coefficients situés en dehors de la diagonale principale sont nuls.
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La matrice unité de dimension $n$ est la matrice carrée de dimension $n$ qui contient des $1$ sur la diagonale principale et des $0$ ailleurs :
$ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{pmatrix}$.
Exemples
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La matrice $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ est une matrice diagonale d’ordre 4.
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La matrice unité d’ordre 2 est $I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
2. Opérations sur les matrices
Définition (Somme de matrices)
Soient $A$ et $B$ deux matrices de même dimension.
La somme $A+B$ des matrices $A$ et $B$ s’obtient en ajoutant les coefficients de $A$ aux coefficients de $B$ situés à la même position.
Exemple
Soient $A=\begin{pmatrix} 2 & – 2 & 1 \\ – 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} – 1 & 1 & 1 \\ – 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$.
Alors :
$A+B=\begin{pmatrix}2 – 1& – 2+1&1+1\\ – 1 – 2&1+2&0+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& – 1&2\\ – 3&3&0\end{pmatrix}$.
Remarques
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On ne peut additionner deux matrices que si elles ont les même dimensions, c’est à dire le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes.
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On définit de manière analogue la différence de deux matrices.
Définition (Produit d’une matrice par un nombre réel)
Soient $A$ une matrice et $k$ un nombre réel..
Le produit $kA$ est la matrice obtenue en multipliant chacun des coefficients de $A$ par $k$.
Exemple
Si $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ alors :
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$2A=\begin{pmatrix} 2\times 1 & 2\times 1 & 2\times 0 \\ 2\times 2 & 2\times 0 & 2\times 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 0\end{pmatrix}$.
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$ – A= – 1\times A=\begin{pmatrix} – 1 & – 1 & 0 \\ – 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
Propriétés
Soient $A$, $B$ et $C$ trois matrices de mêmes dimensions et $k$ et $k^{\prime}$ deux réels.
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$A+B = B+A $ (commutativité de l’addition) ;
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$\left(A+B\right)+C = A+\left(B+C\right)$ (associativité de l’addition) ;
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$k\left(A+B\right) = kA+kB$ ;
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$\left(k+k^{\prime}\right)A = kA+k^{\prime}A$ ;
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$k\left(k^{\prime}A\right) = \left(kk^{\prime}\right)A$.
Définition (Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne)
Soient $A=\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)$ une matrice ligne $1\times n$ et $B=\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \cdots \\ b_{n} \end{pmatrix}$ une matrice colonne $n\times 1$. Le produit de $A$ par $B$ est le nombre réel :
$A\times B = \left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)\times \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \cdots \\ b_{n} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n}$.
Remarque
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Les deux matrices $A$ et $B$ doivent avoir le même nombre $n$ de coefficients.
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Pour cette formule, la matrice ligne doit être impérativement en premier !
Exemple
Si $ A=\left(1 2 3 4\right) $ et $ B=\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}$ :
$A\times B = 1\times 5 + 2\times 6 + 3\times 7 + 4\times 8 = 5 + 12 + 21 + 32 = 70$.
Définition (Produit de deux matrices)
Soient $A=\left(a_{ij}\right)$ une matrice $n\times p$ et $B=\left(b_{ij}\right)$ une matrice $p\times q$. Le produit de $A$ par $B$ est la matrice $C=\left(c_{ij}\right)$ à $n$ lignes et $q$ colonnes dont le coefficient situé à la $i$-ième ligne et la $j$-ième colonne est obtenu en multipliant la $i$-ième ligne de A par la $j$-ième colonne de B.
C’est à dire que pour tout $1 \leqslant i \leqslant n$ et tout $1 \leqslant j \leqslant q$ :
$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}$.
Remarque
Faites bien attention aux dimensions des matrices : Le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde pour que le calcul soit possible.
Par exemple, le produit d’une matrice $2\times \color{red}{3}$ par une matrice $\color{red}{3}\times 4$ est possible et donnera une matrice $2\times 4$.
Par contre, le produit d’une matrice $2\times \color{red}{3}$ par une matrice $\color{red}{2}\times 3$ n’est pas possible.
Exemple
Calculons le produit $C=A\times B$ avec :
$A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $ et $ B=\begin{pmatrix} – 1 & 0 & 2 \\ – 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.
Ce calcul est possible car le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$. Le résultat $C$ sera une matrice $2\times 3$ ($\color{red}{2}\times 2 $par$ 2\times \color{red}{3} \rightarrow \color{red}{2}\times \color{red}{3}$).
Notons $C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \end{pmatrix}$.
Pour calculer $c_{11}$ on multiplie la première ligne de $A$ et la première colonne de $B$ :
$C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \color{red}{ – 1} & 0 & 2 \\ \color{red}{ – 2} & 1 & 0\end{pmatrix}$ ;
on a donc $c_{11}=2\times \left( – 1\right)+4\times \left( – 2\right)= – 2 – 8= – 10$.
$C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\color{red}{ – 1} & 0 & 2 \\ \color{red}{ – 2} & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\color{red}{ – 10} & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}$.
Pour calculer $c_{12}$ on multiplie la première ligne de $A$ et la seconde colonne de $B$ :
$C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} – 1 & \color{red}{0} & 2 \\ – 2 & \color{red}{1} & 0\end{pmatrix}$ ;
on a donc $c_{12}=2\times 0+4\times 1=0+4=4$.
$C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} – 1 & \color{red}{0} & 2 \\ – 2 & \color{red}{1} & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} – 10 & \color{red}{4} & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}$.
Et ainsi de suite…
Au final on trouve :
$C=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} – 1 & 0 & 2 \\ – 2 & 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} – 10 & 4 & 4 \\ – 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.
Dans ce qui suit, on s’intéressera principalement à des matrices carrées.
Propriété
Soit $A, B$ et $C$, trois matrices carrées de même dimension.
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$A\times \left(B+C\right) = A\times B + A\times C$ (distributivité à gauche)
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$\left(A+B\right)\times C = A\times C + B\times C$ (distributivité à droite)
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$A\times \left(B\times C\right) = \left(A\times B\right)\times C$ (associativité de la multiplication)
Par contre en général : $A\times B\neq B\times A$ : la multiplication n’est pas commutative.
Exemple
Soit $A=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$A \times B=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
tandis que :
$B \times A=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
Par conséquent $A\times B \neq B\times A$.
Définition (Puissance d’une matrice)
Soit $A$ une matrice carrée et $n$ un entier naturel.
On note $A^{n}$ la matrice :
$A^{n}=A\times A\times \cdots.\times A$ ($n$ facteurs).
Remarque
Par convention, on considèrera que $A^{0}$ est la matrice unité de même taille que $A$.
Définition (Matrice inversible)
Une matrice carrée A de dimension $n$ est inversible si et seulement si il existe une
matrice $B$ telle que
$A\times B = B\times A = I_{n}$
où $I_{n}$ est la matrice unité de dimension $n$.
La matrice $B$ est appelée matrice inverse de $A$ et notée $A^{ – 1}$.
3. Résolution de systèmes d’équations
Soit le système :
$\left(S\right) \left\{ \begin{matrix} ax+by=s \\ cx+dy=t \end{matrix}\right.$
d’inconnues $x$ et $y$.
Si l’on pose $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$, le système $\left(S\right)$ peut s’écrire :
$A\times X=B$. Le théorème ci-dessous permet alors de résoudre ce système.
Théorème
Soit $A$ une matrice carrée.
Si $A$ est inversible, le système $A\times X=B$ admet une solution unique donnée par :
$X=A^{ – 1}\times B$.
Exemple
On cherche à résoudre le système :
$\left(S\right) \left\{ \begin{matrix} 3x+4y=1 \\ 5x+7y=2 \end{matrix}\right.$
Pour cela on pose : $A=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
L’écriture matricielle est alors $A\times X=B$.
A la calculatrice, on trouve que $A$ est inversible d’inverse $A^{ – 1}=\begin{pmatrix} 7 & – 4 \\ – 5 & 3 \end{pmatrix}$.
La solution du système est donné par :
$X=A^{ – 1}\times B=\begin{pmatrix} 7 & – 4 \\ – 5 & 3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} – 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
C’est à dire $x= – 1$ et $y=1$.