Introduction aux matrices
1. Définitions
Définition
Une matrice de dimension (ou d'ordre or de taille) $ n\times p $ est un tableau de nombres réels (appelés coefficients ou termes) comportant $ n $ lignes et $ p $ colonnes.
Si on désigne par $ a_{ij} $ le coefficient situé à la $ i $-ième ligne et la $ j $-ième colonne la matrice s'écrira :
Exemple
La matrice $ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} $ est une matrice de dimension $ 2\times 3 $.
Notations
On notera, en abrégé, $ A=\left(a_{ij}\right) $ la matrice dont le coefficient situé à la $ i $-ème ligne et la $ j $-ième colonne est $ a_{ij} $.
Définition
- Une matrice carrée est une matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes.
- Une matrice ligne est une matrice dont le nombre de lignes est égal à $ 1 $.
- Une matrice colonne est une matrice dont le nombre de colonnes est égal à $ 1 $.
Exemple
- La matrice $ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $ est une matrice carrée (de dimension $ 2\times 2 $ - ou on peut dire, plus simplement, de dimension 2).
- La matrice $ B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0,5 \end{pmatrix} $ est une matrice ligne (de dimension $ 1\times 3 $).
- La matrice $ C=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} $ est une matrice colonne (de dimension $ 4\times 1 $).
Remarque
Pour une matrice carrée, on appelle diagonale principale, la diagonale qui relie le coin situé en haut à gauche au coin situé en bas à droite. Sur l'exemple ci-dessous, les coefficients de la diagonale principale sont marqués en rouge :
.
Définition
- La matrice nulle de dimension $ n\times p $ est la matrice de dimension $ n\times p $ dont tous les coefficients sont nuls.
- Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tout les coefficients situés en dehors de la diagonale principale sont nuls.
La matrice unité de dimension $ n $ est la matrice carrée de dimension $ n $ qui contient des $ 1 $ sur la diagonale principale et des $ 0 $ ailleurs :
$ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{pmatrix} $.
Exemple
- La matrice $ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ est une matrice diagonale d'ordre 4.
- La matrice unité d'ordre 2 est $ I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $.
2. Opérations sur les matrices
Définition (Somme de matrices)
Soient $ A $ et $ B $ deux matrices de même dimension.
La somme $ A+B $ des matrices $ A $ et $ B $ s'obtient en ajoutant les coefficients de $ A $ aux coefficients de $ B $ situés à la même position.
Exemple
Soient $ A=\begin{pmatrix} 2 & - 2 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $ et $ B=\begin{pmatrix} - 1 & 1 & 1 \\ - 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} $.
Alors :
$ A+B=\begin{pmatrix}2 - 1& - 2+1&1+1\\ - 1 - 2&1+2&0+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& - 1&2\\ - 3&3&0\end{pmatrix} $.
Remarque
- On ne peut additionner deux matrices que si elles ont les même dimensions, c'est à dire le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes.
- On définit de manière analogue la différence de deux matrices.
Définition (Produit d'une matrice par un nombre réel)
Soient $ A $ une matrice et $ k $ un nombre réel..
Le produit $ kA $ est la matrice obtenue en multipliant chacun des coefficients de $ A $ par $ k $.
Exemple
Si $ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} $ alors :
- $ 2A=\begin{pmatrix} 2\times 1 & 2\times 1 & 2\times 0 \\ 2\times 2 & 2\times 0 & 2\times 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 0\end{pmatrix} $.
- $ - A= - 1\times A=\begin{pmatrix} - 1 & - 1 & 0 \\ - 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} $.
Propriété
Soient $ A $, $ B $ et $ C $ trois matrices de mêmes dimensions et $ k $ et $ k^{\prime} $ deux réels.
- $ A+B = B+A $ (commutativité de l'addition) ;
- $ \left(A+B\right)+C = A+\left(B+C\right) $ (associativité de l'addition) ;
- $ k\left(A+B\right) = kA+kB $ ;
- $ \left(k+k^{\prime}\right)A = kA+k^{\prime}A $ ;
- $ k\left(k^{\prime}A\right) = \left(kk^{\prime}\right)A $.
Définition (Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne)
Soient $ A=\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right) $ une matrice ligne $ 1\times n $ et $ B=\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \cdots \\ b_{n} \end{pmatrix} $ une matrice colonne $ n\times 1 $. Le produit de $ A $ par $ B $ est le nombre réel :
$ A\times B = \left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)\times \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \cdots \\ b_{n} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n} $.
Remarque
- Les deux matrices $ A $ et $ B $ doivent avoir le même nombre $ n $ de coefficients.
- Pour cette formule, la matrice ligne doit être impérativement en premier !
Exemple
Si $ A=\left(1 2 3 4\right) $ et $ B=\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} $ :
$ A\times B = 1\times 5 + 2\times 6 + 3\times 7 + 4\times 8 = 5 + 12 + 21 + 32 = 70 $.
Définition (Produit de deux matrices)
Soient $ A=\left(a_{ij}\right) $ une matrice $ n\times p $ et $ B=\left(b_{ij}\right) $ une matrice $ p\times q $. Le produit de $ A $ par $ B $ est la matrice $ C=\left(c_{ij}\right) $ à $ n $ lignes et $ q $ colonnes dont le coefficient situé à la $ i $-ième ligne et la $ j $-ième colonne est obtenu en multipliant la $ i $-ième ligne de A par la $ j $-ième colonne de B.
C'est à dire que pour tout $ 1 \leqslant i \leqslant n $ et tout $ 1 \leqslant j \leqslant q $ :
.
Remarque
Faites bien attention aux dimensions des matrices : Le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde pour que le calcul soit possible.
Par exemple, le produit d'une matrice $ 2\times \color{red}{3} $ par une matrice $ \color{red}{3}\times 4 $ est possible et donnera une matrice $ 2\times 4 $.
Par contre, le produit d'une matrice $ 2\times \color{red}{3} $ par une matrice $ \color{red}{2}\times 3 $ n'est pas possible.
Exemple
Calculons le produit $ C=A\times B $ avec :
$ A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $ et $ B=\begin{pmatrix} - 1 & 0 & 2 \\ - 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} $.
Ce calcul est possible car le nombre de colonnes de $ A $ est égal au nombre de lignes de $ B $. Le résultat $ C $ sera une matrice $ 2\times 3 $ ($ \color{red}{2}\times 2 $par$ 2\times \color{red}{3} \rightarrow \color{red}{2}\times \color{red}{3} $).
Notons $ C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \end{pmatrix} $.
Pour calculer $ c_{11} $ on multiplie la première ligne de $ A $ et la première colonne de $ B $ :
$ C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \color{red}{ - 1} & 0 & 2 \\ \color{red}{ - 2} & 1 & 0\end{pmatrix} $ ;
on a donc $ c_{11}=2\times \left( - 1\right)+4\times \left( - 2\right)= - 2 - 8= - 10 $.
$ C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\color{red}{ - 1} & 0 & 2 \\ \color{red}{ - 2} & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\color{red}{ - 10} & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix} $.
Pour calculer $ c_{12} $ on multiplie la première ligne de $ A $ et la seconde colonne de $ B $ :
$ C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} - 1 & \color{red}{0} & 2 \\ - 2 & \color{red}{1} & 0\end{pmatrix} $ ;
on a donc $ c_{12}=2\times 0+4\times 1=0+4=4 $.
$ C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} - 1 & \color{red}{0} & 2 \\ - 2 & \color{red}{1} & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - 10 & \color{red}{4} & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix} $.
Et ainsi de suite...
Au final on trouve :
$ C=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} - 1 & 0 & 2 \\ - 2 & 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - 10 & 4 & 4 \\ - 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $.
Dans ce qui suit, on s'intéressera principalement à des matrices carrées.
Propriété
Soit $ A, B $ et $ C $, trois matrices carrées de même dimension.
- $ A\times \left(B+C\right) = A\times B + A\times C $ (distributivité à gauche)
- $ \left(A+B\right)\times C = A\times C + B\times C $ (distributivité à droite)
- $ A\times \left(B\times C\right) = \left(A\times B\right)\times C $ (associativité de la multiplication)
Par contre en général : $ A\times B\neq B\times A $ : la multiplication n'est pas commutative.
Exemple
Soit $ A=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $ et $ B=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $
$ A \times B=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $
tandis que :
$ B \times A=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $
Par conséquent $ A\times B \neq B\times A $.
Définition (Puissance d'une matrice)
Soit $ A $ une matrice carrée et $ n $ un entier naturel.
On note $ A^{n} $ la matrice :
(
facteurs).
Remarque
Par convention, on considèrera que $ A^{0} $ est la matrice unité de même taille que $ A $.
Définition (Matrice inversible)
Une matrice carrée A de dimension $ n $ est inversible si et seulement si il existe une
matrice $ B $ telle que
où $ I_{n} $ est la matrice unité de dimension $ n $.
La matrice $ B $ est appelée matrice inverse de $ A $ et notée $ A^{ - 1} $.
3. Résolution de systèmes d'équations
Soit le système :
$ \left(S\right) \left\{ \begin{matrix} ax+by=s \\ cx+dy=t \end{matrix}\right. $
d'inconnues $ x $ et $ y $.
Si l'on pose $ A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $, $ X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ et $ B=\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} $, le système $ \left(S\right) $ peut s'écrire :
$ A\times X=B $. Le théorème ci-dessous permet alors de résoudre ce système.
Théorème
Soit $ A $ une matrice carrée.
Si $ A $ est inversible, le système $ A\times X=B $ admet une solution unique donnée par :
.
Exemple
On cherche à résoudre le système :
$ \left(S\right) \left\{ \begin{matrix} 3x+4y=1 \\ 5x+7y=2 \end{matrix}\right. $
Pour cela on pose : $ A=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} $, $ X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ et $ B=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $.
L'écriture matricielle est alors $ A\times X=B $.
A la calculatrice, on trouve que $ A $ est inversible d'inverse $ A^{ - 1}=\begin{pmatrix} 7 & - 4 \\ - 5 & 3 \end{pmatrix} $.
La solution du système est donné par :
$ X=A^{ - 1}\times B=\begin{pmatrix} 7 & - 4 \\ - 5 & 3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - 1 \\ 1 \end{pmatrix} $.
C'est à dire $ x= - 1 $ et $ y=1 $.