Ce chapitre introduit une nouvelle transformation du plan : l’homothétie. Elle complète les transformations vues au cycle 4 (symétries, translation, rotation) en permettant de traiter les agrandissements et réductions.
1. Rappel : Les transformations du plan
Avant d’aborder les homothéties, il est important de distinguer les transformations appelées isométries, qui conservent les longueurs et les formes.
Les isométries (Rappels 5eme/4eme)
- Symétrie axiale : Pliage le long d’une droite (l’axe).
- Symétrie centrale : Demi-tour autour d’un point (le centre).
- Translation : Glissement selon une direction, un sens et une longueur.
- Rotation : Pivotement autour d’un centre, d’un angle donné et dans un sens donné.
Ces quatre transformations conservent les longueurs (les figures ne sont pas déformées) et les aires. L’image d’une figure est une figure superposable.
2. Les homothéties
Une homothétie est une transformation qui permet d’agrandir ou de réduire une figure. Elle ne conserve pas (en général) les longueurs.
A. Définition
Homothétie
Une homothétie est définie par un centre $O$ et un rapport $k$ (nombre relatif non nul).
Transformer un point $M$ en un point $M’$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ signifie que :
B. Les différents cas du rapport $k$
La position de l’image $M’$ dépend du signe de $k$, et sa taille (agrandissement/réduction) dépend de la valeur de $|k|$.
Position et taille
- Si $ k > 0 $ : $M’$ est du même côté que $M$ par rapport à $O$.
- Si $ k < 0 $ : $M’$ est de l’autre côté de $O$ (effet de retournement, comme une symétrie centrale).
- Si $ |k| > 1 $ : C’est un agrandissement.
- Si $ |k| < 1 $ : C’est une réduction.
Exemple
Cas 1 : Rapport positif ($ k = 2 $). C’est un agrandissement de facteur 2.
Exemple
Cas 2 : Rapport négatif ($ k = -0,5 $). C’est une réduction de facteur 0,5 avec retournement.
[alt: Homothétie de centre O et de rapport -0.5 sur un triangle]
« `
tikz
\begin{tikzpicture}[scale=4.5, line width=1.5pt, every node/.style={scale=1.5}]
\coordinate (O) at (0,0);
% Triangle ABC
\coordinate (A) at (1.5, 0.5);
\coordinate (B) at (2.5, 0.5);
\coordinate (C) at (1.5, 1.5);
% Image Triangle A’B’C’ (k=-0.5)
\coordinate (Ap) at (-0.75, -0.25);
\coordinate (Bp) at (-1.25, -0.25);
\coordinate (Cp) at (-0.75, -0.75);
% Lines from center (extended)
\draw[dashed, gray] (Ap) — (A);
\draw[dashed, gray] (Bp) — (B);
\draw[dashed, gray] (Cp) — (C);
% Draw Triangles
\draw[blue] (A) — (B) — (C) — cycle;
\draw[red] (Ap) — (Bp) — (Cp) — cycle;
% Labels
\fill (O) circle (0.5pt) node[above left] {$O$};
\node[blue, right] at (A) {$A$};
\node[blue, right] at (B) {$B$};
\node[blue, above] at (C) {$C$};
\node[red, below] at (Ap) {$A’$};
\node[red, left] at (Bp) {$B’$};
\node[red, below] at (Cp) {$C’$};
\node at (-0.5, 0.5) {k = -0.5};
\end{tikzpicture}
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C. Construction et lien avec Thalès
Une configuration de Thalès est une situation d’homothétie.
- La configuration « triangles emboîtés » correspond à un rapport positif.
- La configuration « papillon » correspond à un rapport négatif.
Exemple
Théorème de Thalès et Homothétie
Dans la figure ci-dessous, le triangle $AB’C’$ est l’image du triangle $ABC$ par une homothétie de centre $A$.
Les droites $(BC)$ et $(B’C’)$ sont parallèles.
[alt: Configuration de Thalès vue comme une homothétie]
« `
tikz
\begin{tikzpicture}[scale=1.5, line width=1.5pt, every node/.style={scale=1.5}]
% Points
\coordinate (A) at (0,3);
\coordinate (B) at (-2,0);
\coordinate (C) at (3,0);
\coordinate (Bp) at (-3,-1.5);
\coordinate (Cp) at (4.5,-1.5);
% Triangles
\draw[blue] (A) — (B) — (C) — cycle;
\draw[red] (A) — (Bp) — (Cp) — cycle;
% Droites parallèles
\draw[dashed] (B) — (Bp);
\draw[dashed] (C) — (Cp);
% Labels
\node[above] at (A) {$A$};
\node[left] at (B) {$B$};
\node[right] at (C) {$C$};
\node[left] at (Bp) {$B’$};
\node[right] at (Cp) {$C’$};
\end{tikzpicture}
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3. Propriétés des homothéties
Les homothéties conservent certaines propriétés géométriques mais modifient les grandeurs.
Propriétés de conservation
L’homothétie conserve :
- L’alignement des points.
- Les mesures d’angles (un angle de 30° reste de 30°).
- Le parallélisme (l’image d’une droite est une droite parallèle).
Effet sur les grandeurs
Lors d’un agrandissement ou réduction de rapport $k$ :
Exemple
On agrandit un carré de côté 3 cm avec un rapport $ k = 2 $.
- Nouveau côté : $ 3 \times 2 = 6 $ cm.
- Ancienne aire : $ 3^2 = 9 $ cm².
- Nouvelle aire : $ 6^2 = 36 $ cm².
On vérifie bien que l’aire a été multipliée par $ k^2 = 2^2 = 4 $ ($ 9 \times 4 = 36 $).