I – La fonction valeur absolue
Définition
La fonction valeur absolue notée $ x \mapsto |x|$ est définie sur $\mathbb{R}$ par
-
$|x|$ = $x$ si $x$ est positif ou nul,
-
$|x|$ = $ – x$ si $x$ est négatif ou nul.
Remarque
-
$ – x$ est l’opposé de $x$.
Attention, toutefois, à ne pas vous laisser abuser par cette notation: $ – x$ n’est pas forcément négatif : $ – x$ est négatif si $x$ est positif mais il est positif si $x$ est négatif. Par exemple $ – \left( – 5\right)$ est positif !
Propriété
La distance entre les nombres réels $x$ et $y$ est égale à $|y – x|$ (ou aussi à $|x – y|$).
Exemple
$AB=|5 – ( – 3)|=|8|=8$
$BA=| – 3 – (+5)|=| – 8|=8.$
Propriété
La fonction valeur absolue est :
-
strictement décroissante sur $\left] – \infty ; 0\right]$ ;
-
strictement croissante sur $\left[0 ; +\infty \right[$.
Tableau de variations
Tableau de variation de la fonction valeur absolue
Courbe représentative
Graphique de la fonction valeur absolue
Propriété
La courbe représentative de la fonction $x \mapsto |x|$, dans un repère orthonormé, est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
II – La fonction racine carrée
Définition
La fonction racine carrée est la fonction définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\sqrt{x}$.
Propriété
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $\left[0;+\infty \right[$.
Tableau de variations
Tableau de variation de la fonction racine carrée
Courbe représentative
Graphique de la fonction racine carrée
Remarque
La courbe représentative de la fonction racine carrée est une demi-parabole.
Propriété
Pour tout $x\in \mathbb{R}$ :
$\sqrt{x^{2}}=|x|$.
Exemple
-
$\sqrt{3^{2}}=\sqrt{9}=3$ ;
-
$\sqrt{\left( – 3\right)^{2}}=\sqrt{9}=3$.
Remarque
Ne pas confondre :
-
$\sqrt{x^{2}}$ qui est défini pour tout $x\in \mathbb{R}$ (ce qui est sous le radical est $x^{2}$ donc toujours positif) et est égal à $|x|$ ;
-
$\left(\sqrt{x}\right)^{2}$ qui n’est défini que pour $x \geqslant 0$ (ce qui est sous le radical est $x$).