La fonction linéaire est la traduction algébrique de la proportionnalité. Ce chapitre formalise les notions vues depuis le début du collège en introduisant un nouvel outil : la fonction.
1. Définition et lien avec la proportionnalité
Une situation de proportionnalité existe lorsque l’on passe d’une grandeur à une autre en multipliant toujours par un même nombre constant.
Fonction linéaire
Soit $a$ un nombre réel donné.
On appelle fonction linéaire de coefficient $a$, la fonction $f$ qui, à tout nombre $x$, associe le nombre $a \times x$.
On note :
ou
Remarque
- Le nombre $x$ est l’antécédent (la grandeur de départ).
- Le nombre $f(x)$ est l’image (la grandeur d’arrivée).
- Le coefficient $a$ correspond exactement au coefficient de proportionnalité du tableau de valeurs associé.
Exemple
On achète des pommes à 3 € le kilogramme. Le prix est proportionnel à la masse.
- Si on note $x$ la masse en kg.
- Le prix à payer est modélisé par la fonction linéaire $p$ définie par :
$p(x) = 3x$
- Le coefficient de la fonction est 3 (prix unitaire).
- L’image de 5 est $p(5) = 3 \times 5 = 15$. Cela signifie que 5 kg coûtent 15 €.
2. Représentation graphique
Il existe une équivalence stricte entre fonction linéaire, proportionnalité et alignement avec l’origine.
Alignement avec l’origine
Dans un repère du plan :
- La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.
- Réciproquement, toute droite qui passe par l’origine du repère (non verticale) représente une fonction linéaire.
Coefficient directeur
Le coefficient $a$ est appelé coefficient directeur de la droite. Il indique la « pente » ou l’inclinaison de la droite :
- Si $a > 0$, la droite « monte » (la fonction est croissante).
- Si $a < 0$, la droite "descend" (la fonction est décroissante).
Exemple
Représentation de la fonction $f(x)=1,5x$.
[alt: Représentation graphique de la fonction linéaire $f(x)=1,5x$]
« `
tikz
\begin{tikzpicture}[scale=1.5, every node/.style={scale=1.5}]
\draw[lightgray, thin] (-4,-6) grid (4,6);
\draw[->, very thick] (-4,0) — (4,0) node[right] {\Large $x$};
\draw[->, very thick] (0,-6) — (0,6) node[above] {\Large $f(x)$};
\draw[red, line width=2pt] (-4, -6) — (4, 6);
\node[red, right] at (2, 3) {\large $f(x)=1,5x$};
\end{tikzpicture}
« `
Tracer une fonction linéaire
Pour tracer la droite $(d)$ représentant la fonction $f(x) = ax$ :
[alt: Tracé de la représentation graphique d’une fonction linéaire]
« `
tikz
% Graphique fonction linéaire avec échelle augmentée et Point A
\begin{tikzpicture}[scale=2, every node/.style={scale=1.5}]
\draw[lightgray, thin] (-4,-6) grid (4,6);
\draw[->, very thick] (-4,0) — (4,0) node[right] {\Large $x$};
\draw[->, very thick] (0,-6) — (0,6) node[above] {\Large $f(x)$};
% Fonction f(x) = -2x
\draw[red, line width=2pt] (-2.8, 5.6) — (2.8, -5.6);
\draw [line width=2pt] (-0.1, 1) — (0.1, 1);
\draw [line width=2pt] (1, -0.1) — (1, 0.1);
% Point A(2, -4)
\draw[dashed, line width=1pt] (2,0) — (2,-4) — (0,-4);
\fill (2,-4) circle (1.5pt) node[right] {\Large \boldmath $A$};
% Origine O
\fill (0,0) circle (1.5pt) node[below left] {\Large \boldmath $O$};
\end{tikzpicture}
« `
Exemple : Tracer la représentation de $f(x) = -2x$.
- Point 1 : L’origine $O(0;0)$.
- Point 2 : Si $x = 3$, alors $f(3) = -2 \times 3 = -6$. On place le point $A(3 ; -6)$.
- On trace la droite $(OA)$.
3. Déterminer une fonction linéaire
Retrouver l’expression d’une fonction linéaire revient à calculer un coefficient de proportionnalité à partir d’un couple de valeurs.
Calcul du coefficient
Si $f$ est une fonction linéaire et si l’on connaît un nombre non nul $x_0$ et son image $f(x_0)$, alors le coefficient $a$ se calcule par la formule :
Exemple
On cherche la fonction linéaire $g$ telle que l’image de 4 soit 12 (noté $g(4) = 12$).
4. Modélisation et Pourcentages
Les fonctions linéaires sont l’outil mathématique privilégié pour traiter les pourcentages d’évolution (soldes, augmentations).
Pourcentages et fonctions
- Prendre $t \%$ d’un nombre $x$ revient à calculer : $f(x) = \dfrac{t}{100}x$.
- Augmenter un nombre $x$ de $t \%$ revient à le multiplier par le coefficient $1 + \dfrac{t}{100}$.
La fonction linéaire associée est :
- Diminuer un nombre $x$ de $t \%$ revient à le multiplier par le coefficient $1 – \dfrac{t}{100}$.
La fonction linéaire associée est :
Cas d’une réduction (Solde)
Un magasin applique une réduction de 20% sur tous les articles.
On note $x$ le prix initial.