Fonction linéaire – Proportionnalité
La fonction linéaire est la traduction algébrique de la proportionnalité. Ce chapitre formalise les notions vues depuis le début du collège en introduisant un nouvel outil : la fonction.
1. Définition et lien avec la proportionnalité
Une situation de proportionnalité existe lorsque l'on passe d'une grandeur à une autre en multipliant toujours par un même nombre constant.
Fonction linéaire
Soit $a$ un nombre réel donné.
On appelle fonction linéaire de coefficient $a$, la fonction $f$ qui, à tout nombre $x$, associe le nombre $a \times x$.
On note :
ou
Remarque
* Le nombre $x$ est l'antécédent (la grandeur de départ).
* Le nombre $f(x)$ est l'image (la grandeur d'arrivée).
* Le coefficient $a$ correspond exactement au coefficient de proportionnalité du tableau de valeurs associé.
Exemple
On achète des pommes à 3 € le kilogramme. Le prix est proportionnel à la masse.
* Si on note $x$ la masse en kg.
* Le prix à payer est modélisé par la fonction linéaire $p$ définie par :
* Le coefficient de la fonction est 3 (prix unitaire).
* L'image de 5 est $p(5) = 3 \times 5 = 15$. Cela signifie que 5 kg coûtent 15 €.
2. Représentation graphique
Il existe une équivalence stricte entre fonction linéaire, proportionnalité et alignement avec l'origine.
Alignement avec l'origine
Dans un repère du plan :
* La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère.
* Réciproquement, toute droite qui passe par l'origine du repère (non verticale) représente une fonction linéaire.
Coefficient directeur
Le coefficient $a$ est appelé coefficient directeur de la droite. Il indique la "pente" ou l'inclinaison de la droite :
* Si $a > 0$, la droite "monte" (la fonction est croissante).
* Si $a < 0$, la droite "descend" (la fonction est décroissante).
Exemple
Représentation de la fonction $f(x)=1,5x$.
Tracer une fonction linéaire
Pour tracer la droite $(d)$ représentant la fonction $f(x) = ax$ :
1. On place le point $O(0;0)$ car la droite passe toujours par l'origine.
2. On choisit une valeur pour $x$ (non nulle) et on calcule son image $f(x)$ pour obtenir un deuxième point.
3. On trace la droite passant par ces deux points.
Exemple : Tracer la représentation de $f(x) = -2x$.
* Point 1 : L'origine $O(0;0)$.
* Point 2 : Si $x = 3$, alors $f(3) = -2 \times 3 = -6$. On place le point $A(3 ; -6)$.
* On trace la droite $(OA)$.
3. Déterminer une fonction linéaire
Retrouver l'expression d'une fonction linéaire revient à calculer un coefficient de proportionnalité à partir d'un couple de valeurs.
Calcul du coefficient
Si $f$ est une fonction linéaire et si l'on connaît un nombre non nul $x_0$ et son image $f(x_0)$, alors le coefficient $a$ se calcule par la formule :
Exemple
On cherche la fonction linéaire $g$ telle que l'image de 4 soit 12 (noté $g(4) = 12$).
1. On sait que $g$ est linéaire, donc de la forme $g(x) = ax$.
2. On applique la formule : $a = \dfrac{g(4)}{4} = \dfrac{12}{4} = 3$.
3. Conclusion : La fonction est définie par $g(x) = 3x$.
4. Modélisation et Pourcentages
Les fonctions linéaires sont l'outil mathématique privilégié pour traiter les pourcentages d'évolution (soldes, augmentations).
Pourcentages et fonctions
* Prendre $t \%$ d'un nombre $x$ revient à calculer : $f(x) = \dfrac{t}{100}x$.
* Augmenter un nombre $x$ de $t \%$ revient à le multiplier par le coefficient $1 + \dfrac{t}{100}$.
La fonction linéaire associée est :
* Diminuer un nombre $x$ de $t \%$ revient à le multiplier par le coefficient $1 - \dfrac{t}{100}$.
La fonction linéaire associée est :
Cas d'une réduction (Solde)
Un magasin applique une réduction de 20% sur tous les articles.
On note $x$ le prix initial.
1. Le coefficient multiplicateur est $1 - \dfrac{20}{100} = 1 - 0,2 = 0,8$.
2. La fonction linéaire modélisant le prix soldé est $p(x) = 0,8x$.
3. Pour un article à 50 €, le prix soldé est $p(50) = 0,8 \times 50 = 40$ €.