La fonction exponentielle est une fonction mathématique définie par $f(x) = e^x$, où $e \approx 2.718$. Cette fonction possède la propriété d’être égale à sa fonction dérivée.
Elle se caractérise par une croissance exponentielle rapide et est utilisée dans de nombreux domaines, y compris la finance, la biologie, et la physique. Comprendre ses propriétés et retenir l’allure de son graphique est essentiel pour les chapitres suivants .
1. Définition de la fonction exponentielle
Théorème et Définition
Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f^{\prime}=f$ et $f\left(0\right)=1$
Cette fonction est appelée fonction exponentielle (de base e) et notée $\text{exp}$.
Remarque
L’existence d’une telle fonction est admise.
Son unicité est démontrée dans l’exercice : [ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle
Notation
On note $\text{e}=\text{exp}\left(1\right)$.
On démontre que pour tout entier relatif $n \in \mathbb{Z}$ : $\text{exp}\left(n\right)=\text{e}^{n}$
Cette propriété conduit à noter $\text{e}^{x}$ l’exponentielle de $x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
Remarque
On démontre (mais c’est hors programme) que $\text{e} \left(\approx 2,71828 . . . \right)$ est un nombre irrationnel, c’est à dire qu’il ne peut s’écrire sous forme de fraction.
2. Etude de la fonction exponentielle
Propriété
La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Remarque
Cette propriété très importante est démontrée dans l’exercice : [ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle
Propriété
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
Alors la fonction $ f~: x\mapsto \text{e}^{u\left(x\right)}$ est dérivable sur $I$ et :
$f^{\prime}=u^{\prime}\text{e}^{u}$
Démonstration
On utilise le théorème de dérivation de fonctions composées.
Exemple
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=\text{e}^{ – x}$
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime}\left(x\right)= – \text{e}^{ – x}$
Limites
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$\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }\text{e}^{x}=0$
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$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{x}=+\infty $
Remarques
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Ces résultats sont démontrés dans l’exercice : [ROC] Limites de la fonction exponentielle
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On déduit des résultats précédents le tableau de variation et l’allure de la courbe de la fonction exponentielle:
Tableau de variation de la fonction exponentielle
Graphique de la fonction exponentielle
Théorème ( «Croissance comparée»)
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$\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }x\text{e}^{x}=0$
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$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\text{e}^{x}}{x}=+\infty $
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$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\text{e}^{x} – 1}{x}=1$
Remarques
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Voir, à nouveau, l’exercice : [ROC] Limites de la fonction exponentielle pour la démonstration des deux premières formules.
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Les deux premières formules peuvent se généraliser de la façon suivante :
Pour tout entier $n > 0$ :
$ \lim\limits_{x\rightarrow – \infty }x^{n}\text{e}^{x}=0$
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\text{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty $
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La troisième formule s’obtient en utilisant la définition du nombre dérivé pour x=0 : (voir Calculer une limite à l’aide du nombre dérivé).
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\text{e}^{x} – 1}{x}=\text{exp}^{\prime}\left(0\right)=\text{exp}\left(0\right)=1$
Théorème
La fonction exponentielle étant strictement croissante, si $a$ et $b$ sont deux réels :
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$\text{e}^{a}=\text{e}^{b}$ si et seulement si $a=b$
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$\text{e}^{a} < \text{e}^{b}$ si et seulement si $ a < b $
Remarque
Ces résultats sont extrêmement utiles pour résoudre équations et inéquations.
3. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
Propriétés
Pour tout réels $a$ et $b$ et tout entier $n \in \mathbb{Z}$ :
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$\text{e}^{a+b}=\text{e}^{a} \times \text{e}^{b}$
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$\text{e}^{ – a}=\dfrac{1}{\text{e}^{a}}$
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$\text{e}^{a – b}=\dfrac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}}$
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$\left(\text{e}^{a}\right)^{n}=\text{e}^{na}$
Remarques
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Ces propriétés sont démontrées dans l’exercice : [ROC] Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
Elles sont similaires aux propriétés des puissances vues au collège (et justifient la notation $\text{e}^{x}$) -
Si l’on pose $a=\dfrac{1}{2}$ et $n=2$ dans la formule $\left(\text{e}^{a}\right)^{n}=\text{e}^{na}$ on obtient $\left(\text{e}^{^{\dfrac{1}{2}}}\right)^{2}=\text{e}^{1}=\text{e}$ donc comme $\text{e}^{^{\dfrac{1}{2}}} > 0$ : $\text{e}^{^{\dfrac{1}{2}}}=\sqrt{\text{e}}$