Nombre dérivé – Fonction dérivée
1. Nombre dérivé
Définition
Soit $ f $ une fonction définie sur un intervalle $ I $ et soient 2 réels $ x_{0} $ et $ h\neq 0 $ tels que $ x_{0} \in I $ et $ x_{0}+h \in I $.
Le taux de variation (ou taux d’accroissement) de la fonction $ f $ entre $ x_{0} $ et $ x_{0}+h $ est le nombre :
$ T=\dfrac{f\left(x_{0}+h\right) – f\left(x_{0}\right)}{h} $
Définition
Une fonction $ f $ est dérivable en $ x_{0} $ si et seulement si le nombre $ \dfrac{f\left(x_{0}+h\right) – f\left(x_{0}\right)}{h} $ a pour limite un certain réel $ l $ lorsque $ h $ tend vers 0.
$ l $ est appelée nombre dérivé de $ f $ en $ x_{0} $, on le note $ f^{\prime}\left(x_{0}\right) $.
On écrit : $ f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left(x_{0}+h\right) – f\left(x_{0}\right)}{h} $.
Remarque
- Le quotient $ \dfrac{f\left(x_{0}+h\right) – f\left(x_{0}\right)}{h} $ est le taux d’accroissement de $ f $ entre $ x_{0} $ et $ x_{0}+h $.
- « le nombre $\dfrac{f\left(x_{0}+h\right) – f\left(x_{0}\right)}{h}$ a pour limite un certain réel $ l $ lorsque $ h $ tend vers 0 » signifie que $ \dfrac{f\left(x_{0}+h\right) – f\left(x_{0}\right)}{h} $ se rapproche de $ l $ lorsque $ h $ se rapproche de 0.
Une définition plus rigoureuse de la notion de limite sera vue en Terminale. - On peut également définir le nombre dérivé de la façon suivante:
$ f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{f\left(x\right) – f\left(x_{0}\right)}{x – x_{0}} $
(cela correspond au changement de variable $ x=x_{0}+h $)
Exemple
Calculons le nombre dérivé de la fonction $ f : x \mapsto x^{2} $ pour $ x=1 $.
Ce nombre se note $ f^{\prime}\left(1\right) $ et vaut :
$ f^{\prime}\left(1\right)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left(1+h\right)^{2} – 1^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{2h+h^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}2+h $
Or quand $ h $ tend vers 0, $ 2+h $ tend vers 2; donc $ f^{\prime}\left(1\right)=2 $.
Remarque
Interprétation graphique du nombre dérivé :
Soit $ \mathscr{C}_f $ la courbe représentative de la fonction $ f $.
Lorsque $ h $ tend vers 0, $ B $ « se rapproche » de $ A $ et la droite $ \left(AB\right) $ se rapproche de la tangente $ \mathscr{T} $.
Le nombre dérivée $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $x_{0}$.
Propriété
Soit $ f $ une fonction dérivable en $ x_{0} $ de courbe représentative $ \mathscr{C}_f $, l’équation de la tangente à $ \mathscr{C}_f $ au point d’abscisse $ x_{0} $ est :
Démonstration
D’après la propriété précédente, la tangente à $ \mathscr{C}_f $ au point d’abscisse $ x_{0} $ est une droite de coefficient directeur $ f^{\prime}\left(x_{0}\right) $. Son équation est donc de la forme :
$ y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x+b $
On sait que la tangente passe par le point $ A $ de coordonnées $ \left(x_{0}; f\left(x_{0}\right)\right) $ donc :
$ f\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+b $
$ b= – f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+f\left(x_{0}\right) $
L’équation de la tangente est donc :
$ y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x – f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+f\left(x_{0}\right) $
Soit :
$ y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x – x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right) $
2. Fonction dérivée
Définition
Soit $ f $ une fonction définie sur un intervalle $ I $. On dit que $ f $ est dérivable sur $ I $ si et seulement si pour tout $ x \in I $, le nombre dérivé $ f^{\prime}\left(x\right) $ existe.
La fonction qui à $ x \in I $ associe le nombre dérivé de $ f $ en $ x $ s’appelle la fonction dérivée et se note $ f^{\prime} $
Propriété
Dérivée des fonctions usuelles :
| Fonction | Dérivée | Ensemble de dérivabilité |
|---|---|---|
| $k \left(k\in \mathbb{R}\right)$ | $0$ | $\mathbb{R}$ |
| $x$ | $1$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^{n} \left(n\in \mathbb{N}\right)$ | $nx^{n - 1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $\left]0;+\infty \right[$ |
Propriété
Formules de base :
Si $ u $ et $ v $ sont 2 fonctions dérivables sur un intervalle $ I $. Sur cet intervalle :
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| $u+v$ | $u^{\prime}+v^{\prime}$ |
| $ku \left(k\in \mathbb{R}\right)$ | $ku^{\prime}$ |
| $uv$ | $u^{\prime}v+uv^{\prime}$ |
| $\dfrac{u}{v}$ (avec $v\left(x\right)\neq 0$ sur $I$) | $\dfrac{u^{\prime}v – uv^{\prime}}{v^{2}}$ |
| $\sqrt{u}$ (avec $u\geqslant 0$ sur $I$) | $\dfrac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}}$ lorsque $u > 0$ |
Exemple
On cherche à calculer la dérivée de la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$ f\left(x\right)=\dfrac{x}{x^{2}+1} $
On pose
$ u\left(x\right)=x $ et $ v\left(x\right)=x^{2}+1 $
On a alors
$ u^{\prime}\left(x\right)=1 $
$ v^{\prime}\left(x\right)=2x $
car la dérivée de la fonction $ x \mapsto x^{2} $ est la fonction $ x \mapsto 2x $ (formule $ nx^{n – 1} $ avec $ n=2 $) et la dérivée de la fonction constante $ x \mapsto 1 $ est la fonction nulle.
La dérivée du quotient est donc :
$ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right) – u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)}{v\left(x\right)^{2}}=\dfrac{1\times \left(x^{2}+1\right) – x\times 2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\dfrac{1 – x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} $
Remarque
- Si le dénominateur d’une fraction est constant, il est très maladroit d’utiliser la formule
$ \left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v – uv^{\prime}}{v^{2}} $.
Par exemple pour dériver $ f\left(x\right)=\dfrac{x^{2}+1}{5} $ on écrira :
$ f\left(x\right)=\dfrac{1}{5}\times \left(x^{2}+1\right) $
donc $ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{5}\times \left(2x\right) $ (formule $ \left(ku\right)^{\prime}=ku^{\prime} $
$ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{2x}{5} $ - De même, si le numérateur d’une fraction est constant on utilisera, de préférence, la formule :
$ \left(\dfrac{1}{u}\right)^{\prime}= – \dfrac{u^{\prime}}{u^{2}} $
Par exemple, si $ f\left(x\right)=\dfrac{5}{x^{2}+1} $
$ f\left(x\right)=5\times \dfrac{1}{x^{2}+1} $ donc :
$ f^{\prime}\left(x\right)=5\times \left( – \dfrac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\right)= – \dfrac{10x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} $ (formule $ \left(\dfrac{1}{u}\right)^{\prime}= – \dfrac{u^{\prime}}{u^{2}} $ avec $ u\left(x\right)=x^{2}+1 $ donc $ u^{\prime}\left(x\right)=2x $
3. Fonction dérivée et sens de variations
Théorème
Soit $ f $ une fonction définie sur un intervalle $ I $.
- $ f $ est croissante sur $ I $ si et seulement si $ f^{\prime}\left(x\right)\geqslant 0 $ pour tout $ x \in I $
- $ f $ est décroissante sur $ I $ si et seulement si $ f^{\prime}\left(x\right)\leqslant 0 $ pour tout $ x \in I $
Remarque
Si $ f^{\prime}\left(x\right) > 0 $ (resp. $ f^{\prime}\left(x\right) < 0 $ sur $ I $, alors $ f $ est strictement croissante (resp. décroissante) sur $ I $.
Mais la réciproque est fausse. Une fonction peut être strictement croissante sur $ I $ alors que sa dérivée s’annule sur $ I $. C’est le cas par exemple de la fonction $ x \mapsto x^{3} $ qui est strictement croissante sur $ \mathbb{R} $ alors que sa dérivée $ x \mapsto 3x^{2} $ s’annule pour $ x=0 $
Exemple
Reprenons la fonction de l’exemple précédent.
$ f\left(x\right)=\dfrac{x}{x^{2}+1} $
$ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1 – x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} $
Le dénominateur de $ f^{\prime}\left(x\right) $ est toujours strictement positif.
Le numérateur de $ f^{\prime}\left(x\right) $ peut se factoriser : $ 1 – x^{2}=\left(1 – x\right)\left(1+x\right) $
Une facile étude de signe montre que $ f^{\prime} $ est strictement négative sur $ \left] – \infty ; – 1\right[ $ et $ \left]1 ; +\infty \right[ $ et est strictement positive sur $ \left] – 1 ; 1\right[ $.
Par ailleurs, $ f\left( – 1\right)= – \dfrac{1}{2} $ et $ f\left(1\right)=\dfrac{1}{2} $
On en déduit le tableau de variations de $ f $ (que l’on regroupe habituellement avec le tableau de signe de $ f^{\prime} $) :
