1 – Généralités
Définition
Une fonction $f$ est un procédé qui à tout nombre réel $x$ associe un seul nombre réel $y$.
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$x$ s’appelle la variable.
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$y$ s’appelle l’image de $x$ par la fonction $f$ et se note $f\left(x\right)$
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$f$ est la fonction et se note: $f : x\mapsto y$.
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On note aussi $y=f\left(x\right)$.
Remarque
Les procédés permettant d’associer un nombre à un autre nombre peuvent être :
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Des formules mathématiques (par exemple : $f\left(x\right)=2x+5$)
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Une courbe (par exemple : la courbe donnant le cours d’une action en Bourse en fonction du temps)
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Un instrument de mesure ou de conversion (par exemple : le compteur d’un taxi qui donne le prix à payer en fonction du trajet parcouru)
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Un tableau de valeurs, chaque élément de la seconde ligne étant associé à un élément de la première ligne
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Une touche de calculatrice (par exemple: sin, cos, ln, log, etc.) qui affiche un résultat dépendant du nombre saisi auparavant
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Etc…
Méthode
Pour calculer l’image d’un nombre par une fonction $f$, on remplace $x$ par ce nombre dans la formule donnant $f\left(x\right)$.
Attention !
N’oubliez pas les parenthèses quand vous remplacez $x$ par un nombre négatif ou par une expression composée (comme $1+\sqrt{2}$ par exemple).
Exemple
Soit $f\left(x\right)=x^{2}+1$
L’image de $ – 1$ par $f$ s’obtient en remplaçant $x$ par $\left( – 1\right)$ dans la formule ci-dessus :
$f\left( – 1\right) =\left( – 1\right)^{2}+1=1+1=2$.
Définition
Soit $y$ un nombre réel. Déterminer les antécédents de $y$ par $f$, c’est trouver les valeurs de $x$ telles que $f\left(x\right)=y$.
Remarque
Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédent(s).
Méthode
Soit $\alpha $ un nombre réel.
Pour trouver les antécédents de $\alpha $ par la fonction $f$, on résout l’équation $f\left(x\right)=\alpha $ d’inconnue $x$.
Exemple
Soit la fonction $f$ définie par $f\left(x\right)=2x – 3$.
Pour trouver le(s) antécédent(s) du nombre $1$ on résout l’équation $f\left(x\right)=1$ c’est à dire :
$2x – 3=1$
$2x=4$
$x=2$
Donc $1$ a un seul antécédent qui est le nombre $2$.
2 – Représentation graphique
Définitions
Un repère du plan est un triplet de points non alignés $\left(O,I,J\right)$.
Le point $O$ est appelé l’origine du repère, la droite $\left(OI\right)$, l’axe des abscisses et la droite $\left(OJ\right)$, l’axe des ordonnées.
Un repère est orthonormé (ou orthonormal) si les points $O, I, J$ forment un triangle rectangle isocèle en $O$.
Remarque
On note généralement $\left(Ox\right)$ l’axe des abscisses et $\left(Oy\right)$ l’axe des ordonnées.
Rappel vocabulaire
Le plan est muni d’un repère $\left(O ; I, J\right)$. On désigne par $M$ un point du plan.
$M$ a pour coordonnées $\left(x; y\right)$, le nombre $x$ est l’abscisse du point $M$ et le nombre $y$ est son ordonnée.
Exemple
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Les coordonnées du point $O$ sont $(0~;~0)$.
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Les coordonnées du point $I$ sont $(1~;~0)$.
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Les coordonnées du point $J$ sont $(0~;~1)$.
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Les coordonnées du point $M$ sont $(3~;~2)$.
Définition
La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère $\left(O; I, J\right)$ est l’ensemble des points $M$ de coordonnées $\left(x ; f\left(x\right)\right)$
Remarque
La définition précédente donne un critère permettant de déterminer si un point $A\left(\alpha ; \beta \right)$ appartient à la courbe représentative d’une fonction $f$ : on calcule $f\left(\alpha \right)$ et on regarde si $f\left(\alpha \right)=\beta $
Exemple
$f\left(x\right)=1+x^{2}$. Les points $A\left(1 ; 3\right)$ et $B\left(2 ; 5\right)$ appartiennent-ils à la courbe représentative $\mathscr C_{f} $ de la fonction $f$ ?
Pour $A$ : $f\left(1\right)=1+1^{2}=2$ n’est pas l’ordonnée de $A$. Donc $A$ n’est pas situé sur la courbe $\mathscr C_{f} $.
Pour $B$ : $f\left(2\right)=1+2^{2}=1+4=5$ est l’ordonnée de $B$. Donc $B$ est situé sur la courbe $\mathscr C_{f} $.
Méthode
Une méthode simple mais approximative pour tracer la courbe représentative d’une fonction $f$ consiste :
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à calculer $f\left(x\right)$ pour plusieurs valeurs de $x$ ;
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puis à placer les points de coordonnées $\left(x ; f\left(x\right)\right)$ correspondant aux valeurs obtenues ;
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et enfin à relier ces différents points.
Exemple
Pour tracer la courbe représentative de la fonction $f~ : ~ x \mapsto x^{2} – 1$ on calcule quelques images :
| $x$ | -1 | 0 | 1 | 2 |
| $f\left(x\right)$ | 0 | -1 | 0 | 3 |
On place les points correspondants puis on les relie pour obtenir la courbe :
