Notion de fonction
1 - Généralités
Définition
Une fonction $ f $ est un procédé qui à tout nombre réel $ x $ associe un seulnombre réel $ y $.
- $ x $ s'appelle la variable.
- $ y $ s'appelle l'image de $ x $ par la fonction $ f $ et se note $ f\left(x\right) $
- $ f $ est la fonction et se note: $ f : x\mapsto y $.
- On note aussi $ y=f\left(x\right) $.
Remarque
Les procédés permettant d'associer un nombre à un autre nombre peuvent être :
- Des formules mathématiques (par exemple : $ f\left(x\right)=2x+5 $
- Une courbe (par exemple : la courbe donnant le cours d'une action en Bourse en fonction du temps)
- Un instrument de mesure ou de conversion (par exemple : le compteur d'un taxi qui donne le prix à payer en fonction du trajet parcouru)
- Un tableau de valeurs, chaque élément de la seconde ligne étant associé à un élément de la première ligne
- Une touche de calculatrice (par exemple: sin, cos, ln, log, etc.) qui affiche un résultat dépendant du nombre saisi auparavant
- Etc...
Méthode
Pour calculer l'image d'un nombre par une fonction $ f $, on remplace $ x $ par ce nombre dans la formule donnant $ f\left(x\right) $.
Attention !
N'oubliez pas les parenthèses quand vous remplacez $ x $ par un nombre négatif ou par une expression composée (comme $ 1+\sqrt{2} $ par exemple).
Exemple
Soit $ f\left(x\right)=x^{2}+1 $
L'image de $ - 1 $ par $ f $ s'obtient en remplaçant $ x $ par $ \left( - 1\right) $ dans la formule ci-dessus :
$ f\left( - 1\right) =\left( - 1\right)^{2}+1=1+1=2 $.
Définition
Soit $ y $ un nombre réel. Déterminer les antécédents de $ y $ par $ f $, c'est trouver les valeurs de $ x $ telles que $ f\left(x\right)=y $.
Remarque
Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédent(s).
Méthode
Soit $ \alpha $ un nombre réel.
Pour trouver les antécédents de $ \alpha $ par la fonction $ f $, on résout l'équation $ f\left(x\right)=\alpha $ d'inconnue $ x $.
Exemple
Soit la fonction $ f $ définie par $ f\left(x\right)=2x - 3 $.
Pour trouver le(s) antécédent(s) du nombre $ 1 $ on résout l'équation $ f\left(x\right)=1 $ c'est à dire :
$ 2x - 3=1 $
$ 2x=4 $
$ x=2 $
Donc $ 1 $ a un seul antécédent qui est le nombre$ 2 $.
2 - Représentation graphique
Définition
Un repère du plan est un triplet de points non alignés $ \left(O,I,J\right) $.
Le point $ O $ est appelé l'origine du repère, la droite $ \left(OI\right) $, l'axe des abscisses et la droite $ \left(OJ\right) $, l'axe des ordonnées.
Un repère est orthonormé (ou orthonormal) si les points $ O, I, J $ forment un triangle rectangle isocèle en $ O $.
Remarque
On note généralement $ \left(Ox\right) $ l'axe des abscisses et $ \left(Oy\right) $ l'axe des ordonnées.
Rappel vocabulaire
Le plan est muni d'un repère $ \left(O ; I, J\right) $. On désigne par $ M $ un point du plan.
$ M $ a pour coordonnées $ \left(x; y\right) $, le nombre $ x $ est l'abscisse du point $ M $ et le nombre $ y $ est son ordonnée.
Exemple
- Les coordonnées du point $ O $ sont $ (0~;~0) $.
- Les coordonnées du point $ I $ sont $ (1~;~0) $.
- Les coordonnées du point $ J $ sont $ (0~;~1) $.
- Les coordonnées du point $ M $ sont $ (3~;~2) $.
Définition
La courbe représentative de la fonction $ f $ dans un repère $ \left(O; I, J\right) $ est l'ensemble des points $ M $ de coordonnées $ \left(x ; f\left(x\right)\right) $
Remarque
La définition précédente donne un critère permettant de déterminer si un point $ A\left(\alpha ; \beta \right) $ appartient à la courbe représentative d'une fonction $ f $ : on calcule $ f\left(\alpha \right) $ et on regarde si $ f\left(\alpha \right)=\beta $
Exemple
$ f\left(x\right)=1+x^{2} $. Les points $ A\left(1 ; 3\right) $ et $ B\left(2 ; 5\right) $ appartiennent-ils à la courbe représentative $ \mathscr C_{f} $ de la fonction $ f $ ?
Pour $ A $ : $ f\left(1\right)=1+1^{2}=2 $ n'est pas l'ordonnée de $ A $. Donc $ A $ n'est pas situé sur la courbe $ \mathscr C_{f} $.
Pour $ B $ : $ f\left(2\right)=1+2^{2}=1+4=5 $ est l'ordonnée de $ B $. Donc $ B $ est situé sur la courbe $ \mathscr C_{f} $.
Méthode
Une méthode simple mais approximative pour tracer la courbe représentative d'une fonction $ f $ consiste :
- à calculer $ f\left(x\right) $ pour plusieurs valeurs de $ x $ ;
- puis à placer les points de coordonnées $ \left(x ; f\left(x\right)\right) $ correspondant aux valeurs obtenues ;
- et enfin à relier ces différents points.
Exemple
Pour tracer la courbe représentative de la fonction $ f~ : ~ x \mapsto x^{2} - 1 $ on calcule quelques images :
| x | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| f\left(x\right) | 0 | -1 | 0 | 3 |
On place les points correspondants puis on les relie pour obtenir la courbe :
