1.Rappels
Rappels de définitions
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Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.
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Chacun des résultats possibles s’appelle une éventualité (ou une issue).
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L’ensemble $\Omega $ de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers de l’expérience.
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On définit une loi de probabilité sur $\Omega $ en associant, à chaque éventualité $x_{i}$, un réel $p_{i}$ compris entre $0$ et $1$ tel que la somme de tous les $p_{i}$ soit égale à $1$.
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Un événement est un sous-ensemble de $\Omega $.
Exemples
Le lancer d’un dé à six faces est une expérience aléatoire d’univers comportant 6 éventualités:
$\Omega =\left\{1; 2; 3; 4; 5; 6\right\}$
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L’ensemble $E_{1}=\left\{2; 4; 6\right\}$ est un événement. En français, cet événement peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est un nombre pair »
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L’ensemble $E_{2}=\left\{1; 2; 3\right\}$ est un autre événement. Ce second événement peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est strictement inférieur à 4 ».
Ces événements peuvent être représentés par un diagramme de Venn :
\img{Venn}{0.33}{Diagramme de Venn}
Définitions
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l’événement contraire de $A$ noté $\bar{A}$ est l’ensemble des éventualités de $\Omega $ qui n’appartiennent pas à $A$.
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l’événement $A \cup B$ (lire « A union B » ou « A ou B » est constitué des éventualités qui appartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux ensembles.
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l’événement $A \cap B$ (lire « A inter B » ou « A et B » est constitué des éventualités qui appartiennent à la fois à A et à B.
Exemple
On reprend l’exemple précédent :
$E_{1}=\left\{2; 4; 6\right\}$
$E_{2}=\left\{1; 2; 3\right\}$
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$\overline{E}_{1}=\left\{1; 3; 5\right\}$ : cet événement peut se traduire par « le résultat est un nombre impair »
\img{Venn-complementaire}{0.3}{Diagramme de Venn – Complémentaire} -
$E_{1} \cup E_{2}=\left\{1; 2; 3; 4; 6\right\}$ : cet événement peut se traduire par « le résultat est pair ou strictement inférieur à 4 ».
\img{Venn-union}{0.3}{Diagramme de Venn – Union} -
$E_{1} \cap E_{2}=\left\{2\right\}$ : cet événement peut se traduire par « le résultat est pair et strictement inférieur à 4 ».
\img{Venn-inter}{0.3}{Diagramme de Venn – Intersection}
Définition
On dit que A et B sont incompatibles si et seulement si $A \cap B=\varnothing$
Remarque
Deux événements contraires sont incompatibles mais deux événements peuvent être incompatibles sans être contraires.
Exemple
« Obtenir un chiffre inférieur à 2 » et « obtenir un chiffre supérieur à 4 » sont deux événements incompatibles.
Propriétés
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$p\left(\varnothing\right)=0$
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$p\left(\Omega \right)=1$
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$p\left(\overline{A}\right)=1 – p\left(A\right)$
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$p\left(A \cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right) – p\left(A \cap B\right)$.
Si A et B sont incompatibles, la dernière égalité devient :
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$p\left(A \cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)$.
2. Arbre
Lorsqu’une expérience aléatoire comporte plusieurs étapes, on utilise souvent un arbre pondéré pour la représenter.
Exemple
Dans une classe de Terminale, 52% de garçons et 48% de filles étaient candidats au baccalauréat.
80% des garçons et 85% des filles ont obtenu leur diplôme.
On choisit un élève au hasard et on note :
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$G$ : l’événement « l’élève choisi est un garçon »;
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$F$ : l’événement « l’élève choisie est une fille »;
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$B$ : l’événement « l’élève choisi(e) a obtenu son baccalauréat ».
On peut représenter la situation à l’aide de l’arbre pondéré ci-dessous :
Le premier niveau indique le genre de l’élève ($G$ ou $F$) et le second indique l’obtention du diplôme ($B$ ou $\overline{B}$).
On inscrit les probabilités sur chacune des branches.
La somme des probabilités inscrites sur les branches partant d’un même nœud est toujours égale à 1.
3. Probabilités conditionnelles
Définition
Soit A et B deux événements tels que $p\left(A\right)\neq 0$, la probabilité de B sachant A est le nombre :
$ p_{A}\left(B\right)=\dfrac{p\left(A \cap B\right)}{p\left(A\right)}. $
On peut aussi noter cette probabilité $p\left(B/A\right)$.
Exemple
On reprend l’exemple du lancer d’un dé.
La probabilité d’obtenir un chiffre pair sachant que le chiffre obtenu est strictement inférieur à 4 est (en cas d’équiprobabilité) :
$ p_{E_{2}}\left(E_{1}\right)=\dfrac{p\left(E_{1} \cap E_{2}\right)}{p\left(E_{2}\right)}=\dfrac{1}{3}. $
Remarques
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L’égalité précédente s’emploie souvent sous la forme :
$p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right)$
pour calculer la probabilité de $A \cap B$.
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Attention à ne pas confondre $p_{A}\left(B\right)$ et $p\left(A \cap B\right)$ dans les exercices.
On doit calculer $p_{A}\left(B\right)$ lorsque l’on sait que $A$ est réalisé. -
Avec un arbre pondéré, les probabilités conditionnelles figurent sur les branches du second niveau et des niveaux supérieurs (s’il y en a).
La probabilité inscrite sur la branche reliant $A$ à $B$ est $p_A(B)$.
Typiquement, un arbre binaire à deux niveaux se présentera ainsi :
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La formule $p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right)$ s’interprète alors de la façon suivante :
« La probabilité de l’événement $A \cap B$ s’obtient en faisant le produit des probabilités inscrites sur le chemin passant par $A$ et $B$ ».
4. Événements indépendants
Définition
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :
$ p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right). $
Propriété
$A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :
$ p_{A}\left(B\right)=p\left(B\right). $
Démonstration
Elle résulte directement du fait que pour deux événements quelconques :
$ p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right). $
Remarque
Comme $A \cap B=B \cap A$, $A$ et $B$ sont interchangeables dans cette formule et on a également :
$A$ et $B$ sont indépendants $ \Leftrightarrow $ $p_{B}\left(A\right)=p\left(A\right)$.
5. Formule des probabilités totales
Définition
$A_{1}$, $A_{2}$, … , $A_{n}$ forment une partition de $\Omega $ si et seulement si $A_{1} \cup A_{2} . . . \cup A_{n}=\Omega $ et $A_{i} \cap A_{j}=\varnothing$ pour $i\neq j$.
Cas particulier fréquent
Pour toute partie $A\subset\Omega $, $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de $\Omega$.
Propriété (Formule des probabilités totales)
Si $A_{1}$, $A_{2}$,… $A_{n}$ forment une partition de $\Omega $, pour tout événement $B$, on a :
$ p\left(B\right)=p\left(A_{1} \cap B\right)+p\left(A_{2} \cap B\right)+ \cdots $$ +p\left(A_{n} \cap B\right). $
Cette formule peut également s’écrire à l’aide de probabilités conditionnelles :
$p\left(B\right)=p\left(A_{1} \right)\times p_{A_{1} }\left(B\right)$$+p\left(A_{2} \right)\times p_{A_{2}}\left(B\right)+\cdots$$+p\left(A_{n}\right)\times p_{A_{n}}\left(B\right)$.
Cas particulier fréquent
En utilisant la partition $\left\{A, \overline{A}\right\}$, quels que soient les événements $A$ et $B$ :
$p\left(B\right)=p\left(A \cap B\right)+p\left(\overline{A} \cap B\right)$
$p\left(B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right)+p\left(\overline{A}\right)\times p_{\overline{A}}\left(B\right)$.
Remarque
À l’aide d’un arbre pondéré, ce résultat s’interprète de la façon suivante :
« La probabilité de l’événement $B$ est égale à la somme des probabilités des trajets menant à $B$ ».
