Équations et Inéquations

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, souvent désigné par une lettre (généralement $ x $), appelée l’inconnue. Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs possibles de $ x $ pour que l’égalité soit vraie.

1. Équations du premier degré

Propriétés fondamentales

Pour résoudre une équation, on cherche à « isoler » l’inconnue $ x $. On utilise deux règles qui ne changent pas les solutions d’une équation :

1. Addition/Soustraction : On peut ajouter ou retrancher le même nombre aux deux membres de l’égalité.

2. Multiplication/Division : On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.

Résoudre une équation du type $ ax + b = cx + d $

Objectif : Trouver la valeur de $ x $.

Méthode :

1. Regrouper les termes en $ x $ d’un côté (souvent à gauche) et les nombres constants de l’autre (à droite).

2. Réduire chaque membre.

3. Isoler $ x $ en divisant par son coefficient.

Exemple : Résoudre $5x – 8 = 2x + 4$

1. On regroupe les $x$ à gauche (on soustrait $2x$) :

$5x – 2x – 8 = 4 \iff 3x – 8 = 4$

2. On regroupe les nombres à droite (on ajoute $8$) :

$3x = 4 + 8 \iff 3x = 12$

3. On isole $x$ (on divise par $3$) :

$ x = \dfrac{12}{3} = 4 $

Conclusion : La solution est $4$.

2. Équations produit-nul

Propriété du produit nul

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.

$ A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0 $

Résoudre une équation produit-nul

Exemple : Résoudre $ (2x + 3)(x – 5) = 0 $.

1. On identifie un produit nul.

2. On applique la propriété : « Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul ».

3. Cela revient à résoudre deux petites équations :

Soit $2x + 3 = 0 \iff 2x = -3 \iff x = -1.5$
Soit $x – 5 = 0 \iff x = 5$

4. Conclusion : L’équation admet deux solutions : $ -1.5 $ et $ 5 $.

Remarque

Si l’équation n’est pas sous forme factorisée (ex: $x^2 – 16 = 0$), il faut parfois factoriser (ici avec $a^2-b^2$) pour se ramener à un produit nul : $(x-4)(x+4)=0$.

3. L’équation $x^2 = a$

Résolution de $x^2 = a$

Selon le signe de $a$, les solutions diffèrent :

Si $a < 0$ : L’équation n’a aucune solution (un carré est toujours positif).
Si $a = 0$ : L’équation a une seule solution, $x = 0$.
Si $a > 0$ : L’équation admet deux solutions opposées : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

Exemple

$x^2 = -9$ : Pas de solution.
$x^2 = 25$ : Deux solutions, $\sqrt{25}=5$ et $-\sqrt{25}=-5$.

4. Inéquations du premier degré

Définition

Une inéquation est une inégalité ($<, \leqslant, >, \geqslant$) contenant une inconnue. Résoudre une inéquation, c’est trouver tous les nombres qui la vérifient.

Règles de résolution et signe négatif

Les règles sont les mêmes que pour les équations, SAUF une exception très importante :

Quand on multiplie ou divise par un nombre NÉGATIF, on doit INVERSER le sens de l’inégalité.

Exemple

Résoudre $-3x + 2 \geqslant 14$.

1. On isole les $x$ : $-3x \geqslant 14 – 2 \iff -3x \geqslant 12$.

2. On divise par $-3$ (négatif) $\rightarrow$ on inverse le sens ($\geqslant$ devient $\leqslant$) :

$ x \leqslant \dfrac{12}{-3} \iff x \leqslant -4 $.

Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à $-4$.

Représentation graphique des solutions x inférieur ou égal à -4

Solutions de l’inéquation $x \leqslant -4$

5. Modéliser un problème

Mettre un problème en équation

Pour résoudre un problème, on suit généralement 4 étapes :

1. Choix de l’inconnue : Définir ce que représente $x$.

2. Mise en équation : Traduire le texte mathématiquement.

3. Résolution : Résoudre l’équation trouvée.

4. Conclusion : Interpréter le résultat et répondre à la question posée.

Exemple

Énoncé : Paul a 15 ans et son père a 40 ans. Dans combien d’années l’âge du père sera-t-il exactement le double de celui de Paul ?

Résolution :

1. Choix de l’inconnue :

Soit $x$ le nombre d’années cherché.

2. Mise en équation :

Dans $x$ années, Paul aura $15 + x$ ans.
Dans $x$ années, son père aura $40 + x$ ans.
On veut que l’âge du père soit égal au double de l’âge de Paul :

$ 40 + x = 2(15 + x) $

3. Résolution :

On développe et on réduit :

$40 + x = 30 + 2x$
On regroupe les $x$ (ici à droite pour garder un coefficient positif, ou règle standard à gauche) :

$40 – 30 = 2x – x$

$10 = x$

4. Conclusion :

Cela se produira dans 10 ans.

Vérification : Dans 10 ans, Paul aura $15+10=25$ ans et son père $40+10=50$ ans. $50$ est bien le double de $25$.

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