1 – Division euclidienne
Définition
Soient $a$ et $b$, deux nombres entiers naturels (c’est à dire positifs) avec $b\neq 0$.
Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$, c’est trouver deux entiers naturels $q$ et $r$ tels que :
$a = b\times q+r $ et $ r < b$
$q$ s’appelle le quotient et $r$ le reste.
Exemple
Écriture en ligne :
$6894 = 23\times 299 + 17$
$299$ est le quotient et $17$ le reste.
Remarque
Sur la plupart des calculatrices de collège la touche qui permet d’effectuer la division euclidienne est notée : 
.
Par exemple, la suite de touches à entrer pour obtenir la division euclidienne de $6894$ par $23$ sur une TI-Collège est :
et voici le résultat obtenu à l’écran :
Définition
On dit que $a$ est divisible par $b$ si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul.
Cela revient à dire qu’il existe un entier naturel $q$ tel que $a = b\times q$.
Les expressions suivantes sont synonymes :
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$a$ est divisible par $b$
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$a$ est un multiple de $b$
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$b$ est un diviseur de $a$
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$b$ divise $a$ (que l’on écrit parfois $b | a$)
Exemple
La division euclidienne de $630$ par $15$ donne un quotient de $42$ et un reste nul.
On a donc $630 = 15\times 42$.
On peut dire que :
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$630$ est divisible par $15$
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$630$ est un multiple de $15$
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$15$ est un diviseur de $630$
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$15$ divise $630$
(On peut aussi dire que $630$ est divisible par $42$, etc.)
Critères de divisibilité
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Un entier naturel est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
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Un entier naturel est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
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Un entier naturel est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
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Un entier naturel est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
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Un entier naturel est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
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Un entier naturel est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
Remarques
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Attention : Pour les critères de divisibilité par 3 et par 9, il faut effectuer la somme des chiffres (et non regarder le chiffre des unités)
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Il n’existe pas de critère de divisibilité par 7 qui soit très simple. Le plus rapide est en général d’effectuer la division !
Exemple
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$1314$ est divisible par $2$ (chiffre des unités : 4)
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$1314$ est divisible par $3$ (somme des chiffres : 9)
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$1314$ n’est pas divisible par $4$ (deux derniers chiffres : 14)
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$1314$ n’est pas divisible par $5$ (chiffre des unités : 4)
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$1314$ est divisible par $9$ (somme des chiffres : 9)
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$1314$ n’est pas divisible par $10$ (chiffre des unités : 4)
2 – Nombres premiers
Définition
On dit qu’un nombre entier naturel est premier s’il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples
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2; 3; 5 sont des nombres premiers ;
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0 n’est pas un nombre premier car il est divisible par tous les entiers supérieurs ou égal à 1.
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1 n’est pas un nombre premier car il n’admet qu’ un seul diviseur (lui-même).
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À l’exception du nombre 2, tous les entiers pairs ne sont pas des nombres premiers (car ils sont divisibles par 2). Cela signifie qu’à l’exception du nombre 2, tous les nombres premiers sont impairs. Par contre, la réciproque est fausse : tous les nombres impairs ne sont pas premiers ; par exemple 1 (voir ci-dessus) et 15 (divisible par 1; 3; 5 et 15) ne sont pas premiers.
Remarque
Il est utile de connaître par cœur la liste des nombres premiers inférieurs à 20 (ou plus …):
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19
Théorème
Décomposition en produit de facteurs premiers
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut s’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique (à l’ordre des facteurs près).
Remarque
Ce résultat très important est également appelé « Théorème fondamental de l’arithmétique »
Exemple
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$10 = 2 \times 5$
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$84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7$
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$23 = 23$ (un seul facteur car 23 est premier !)
Méthode
Pour décomposer un nombre $ N $ en produit de facteurs premiers, on peut essayer de le diviser successivement par chaque nombre premier inférieur ou égal à $ \sqrt{ n } $ . Le méthode détaillée est décrite sur la fiche : Décomposition en produit de facteurs premiers.
3 – PGCD
Définition
Le PGCD de deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ est le plus grand diviseur commun à $a$ et à $b$, c’est à dire le plus grand entier naturel qui divise à la fois $a$ et $b$.
Exemple
Soit à déterminer le PGCD de $600$ et $315$.
Les diviseurs de $600$ sont :
$1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 25; 30; 40; 50; 60; 75; 100; 120; 150; 200; 300; 600$
Les diviseurs de $315$ sont :
$1; 3; 5; 7; 9; 15; 21; 35; 45; 63; 105; 315$
Le plus grand diviseur commun est donc $15$ (le plus grand nombre figurant à la fois dans les deux listes).
$PGCD\left(600~; 315\right)=15$.
Il existe plusieurs méthodes permettant de trouver le PGCD de deux nombres de façon plus rapide, sans avoir besoin de faire la liste de tous les diviseurs.
En classe de Troisième, il faut connaître la méthode utilisant la décomposition en facteurs premiers (voir ci-dessous). D’autres méthodes sont proposées en compléments : Calcul du PGCD par soustractions successives et algorithme d’Euclide.
Par ailleurs, de nombreuses calculatrices (de niveau collège ou lycée) possède une touche permettant de calculer le PGCD de deux entiers naturels.
Exemples
Calcul du PGCD à l’aide de décomposition en produit de facteurs premiers
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Exemple 1 : Calcul du PGCD de 45 et de 150 :
Les décompositions en facteurs premiers de 45 et de 150 sont :
$45 = \color{red}{3 }\color{black} \times 3 \times \color{red}{5} \color{black}= 3^2 \times 5$
$ 150 = 2 \times \color{red}{3}\color{black} \times \color{red}{5}\color{black} \times 5 = 2 \times 3 \times 5^2 $
$3$ et $5$ sont les facteurs premiers figurant dans les deux décompositions donc le PGCD de $45$ et de $150$ est $ 3 \times 5 = 15. $
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Exemple 2 : Calcul du PGCD de 108 et de 144 :
Les décompositions en produit de facteurs premiers de 108 et de 144 sont :
$108 = \color{red}{2 \times 2}\color{black} \times \color{red}{ 3 \times 3}\color{black} \times 3 = 2^2 \times 3^3$
$ 144 = \color{red}{2 \times 2}\color{black} \times 2 \times 2 \times \color{red}{3 \times 3}\color{black} = 2^4 \times 3^2 $
Le facteur $2$ est présent (au moins) deux fois dans chacune des décompositions ainsi que le facteur $ 3 $ ; donc le PGCD de $108$ et de $ 144 $ est $ 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36. $
Définition
Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun mis à part $1$, c’est à dire si le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 1.
Exemples
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$\dfrac{5}{6}$ est une fraction irréductible car $PGCD\left(5~; 6\right)=1$.
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$\dfrac{121}{99}$ n’est pas une fraction irréductible car $PGCD\left(121~; 99\right)=11$.
La fraction se simplifie donc par $11$ :$\dfrac{121}{99}=\dfrac{11\times 11}{9\times 11}=\dfrac{11}{9}$