1 – Développer
Définition
Développer un produit, c’est l’écrire sous la forme d’une somme (ou d’une différence).
Rappel
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Une expression est une somme (algébrique) si la dernière opération effectuée (celle qui donne le résultat final) est une addition ou une soustraction.
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Une expression est un produit si la dernière opération effectuée (celle qui donne le résultat final) est une multiplication.
Par exemple :
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$3\times 5 – 2\times 45$ et $2x+8y$ sont des sommes algébriques
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$5\times \left(3+8\right)$ et $\left(x+1\right)\left(y – 5\right)$ sont des produits.
Propriétés (Distributivité)
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$k\left(a+b\right)=ka+kb$
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$k\left(a – b\right)=ka – kb$
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$\left(a+b\right)\left(c+d\right)=ac+ad+bc+bd$
Exemples
Développer les expressions suivantes:
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$A=3\left(x – 2\right)$
$A=3x – 6$
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$B=\left(x+3\right)\left(2x – 5\right)$
$B=2x^{2} – 5x+6x – 15$
$B=2x^{2}+x – 15$
Propriétés (Identités remarquables – Développement)
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$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
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$\left(a – b\right)^{2}=a^{2} – 2ab+b^{2}$
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$\left(a+b\right)\left(a – b\right)=a^{2} – b^{2}$
Exemples
Développer les expressions suivantes:
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$C=\left(x+1\right)^{2}$
$C=x^{2}+2\times x\times 1+1^{2} $ (première identité remarquable avec $a=x$ et $b=1$)
$C=x^{2}+2x+1 $ -
$D=\left(2x – 1\right)^{2}$
$D=4x^{2} – 2\times 2x\times 1+1^{2} $ (seconde identité remarquable avec $a=2x$ et $b=1$)
$D=4x^{2} – 4x+1 $ -
$E=\left(x+2\right)\left(x – 2\right)$
$E=x^{2} – 2^{2} $ (troisième identité remarquable avec $a=x$ et $b=2$)
$E=x^{2} – 4 $
2 – Factoriser
Définition
Factoriser une somme (ou une différence), c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
Propriétés
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$ka+kb=k\left(a+b\right)$
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$ka – kb=k\left(a – b\right)$
k est le facteur commun
Exemples
Factoriser les expressions suivantes:
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$A=\left(x+3\right)\left(x+2\right) – 7\left(x+2\right)$
Le facteur commun est $\left(x+2\right)$
$A=\left(x+2\right)\left[\left(x+3\right) – 7\right]$
$A=\left(x+2\right)\left(x – 4\right)$
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$B=\left(2x+1\right)^{2} – \left(2x+1\right)\left(x+3\right)$
$B=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right) – \left(2x+1\right)\left(x+3\right)$
Le facteur commun est $\left(2x+1\right)$
$B=\left(2x+1\right)\left[\left(2x+1\right) – \left(x+3\right)\right]$
$B=\left(2x+1\right)\left(2x+1 – x – 3\right)$
$B=\left(2x+1\right)\left(x – 2\right)$
Remarques
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Avec des carrés :
Pour factoriser $\left(x+1\right)^{2}+\left(x+1\right)\left(x+2\right)$, on utilise le fait que $\left(x+1\right)^{2}=\left(x+1\right)\left(x+1\right)$ ce qui fait apparaître le facteur commun $\left(x+1\right)$ :
$\left(x+1\right)^{2}+\left(x+1\right)\left(x+2\right)={\color{red} {\left(x+1\right)}}\left(x+1\right)+{\color{red} {\left(x+1\right)}}\left(x+2\right)$
$=\left(x+1\right)\left[\left(x+1\right)+\left(x+2\right)\right]$
$=\left(x+1\right)\left(2x+3\right)$
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Attention à ne pas oublier le 1 !
Pour factoriser $x^{2} – x$ on écrit que $x^{2}=x\times x$ et $x=x\times 1$;
$x$ est alors facteur commun :
$x^{2} – x = {\color{red} x}\times x – {\color{red} x}\times 1 = x \left(x – 1\right)$
Propriétés (Identités remarquables – Factorisation)
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$a^{2}+2ab+b^{2}=\left(a+b\right)^{2}$
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$a^{2} – 2ab+b^{2}=\left(a – b\right)^{2}$
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$a^{2} – b^{2}=\left(a+b\right)\left(a – b\right)$
Exemples
Factoriser les expressions suivantes:
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$C=x^{2} – 6x+9$
$C=x^{2} – 2\times x\times 3+3^{2}$
$C=\left(x – 3\right)^{2} $ (seconde identité remarquable avec $a=x$ et $b=3$)
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$D=25x^{2} – 4$
$D=\left(5x\right)^{2} – 2^{2}$
$D=\left(5x+2\right)\left(5x – 2\right)$ (troisième identité remarquable avec $a=5x$ et $b=2$)