Simplification d'expressions avec exponentielles de base q

$q$ désigne un réel strictement positif. Simplifier les expressions suivantes :

$A = \left(q^{x}-1\right)^{2}-q^{2x}$
$B = \left(\dfrac{q^{x}+q^{-x}}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{q^{x}-q^{-x}}{2}\right)^{2}$
$C = \dfrac{q^{x}-1}{q^{x}+1} + \dfrac{q^{-x}-1}{q^{-x}+1}$

Corrigé

On développe le carré grâce aux identités remarquables : $A = q^{2x}-2q^{x}+1 -q^{2x}=-2q^{x}+1$
On utilise, là aussi, les identités remarquables pour développer les carrés : $B = \dfrac{q^{2x}+2q^{x}q^{-x}+q^{-2x}}{4}-\dfrac{q^{2x}-2q^{x}q^{-x}+q^{-2x}}{4}$ $B = \dfrac{q^{2x}+2+q^{-2x}}{4}-\dfrac{q^{2x}-2+q^{-2x}}{4} $ (car $q^{x}q^{-x}=q^{x-x}=q^{0}=1$) $B = \dfrac{q^{2x}+2+q^{-2x}-q^{2x}+2-q^{-2x}}{4}$ $B = \dfrac{2+2}{4}=1$
On réduit au même dénominateur : $C = \dfrac{\left(q^{x}-1\right)\left(q^{-x}+1\right)}{\left(q^{x}+1\right)\left(q^{-x}+1\right)} + \dfrac{\left(q^{-x}-1\right)\left(q^{x}+1\right)}{\left(q^{-x}+1\right)\left(q^{x}+1\right)}$ $C = \dfrac{q^{x}q^{-x}+q^{x}-q^{-x}-1+q^{x}q^{-x}+q^{x}-q^{-x}-1}{\left(q^{-x}+1\right)\left(q^{x}+1\right)}$ $C = \dfrac{1+q^{x}-q^{-x}-1+1+q^{x}-q^{-x}-1}{\left(q^{-x}+1\right)\left(q^{x}+1\right)} $ (car $q^{x}q^{-x}=q^{x-x}=q^{0}=1$) $C = \dfrac{1-1+1-1}{\left(q^{-x}+1\right)\left(q^{x}+1\right)}=0$