[Bac] Exponentielle – Limites – Tangente

Extrait d'un exercice du Bac S Polynésie 2014. Le sujet complet (qui nécessite l'étude du chapitre Primitives/intégrales) est disponible ici : Bac S Polynésie 2014 Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=e^{x}$   et   $g\left(x\right)=2e^{^{\frac{x}{2}}}-1.$ On note $\mathscr C_{f}$ et $\mathscr C_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal.

1. Démontrer que les courbes $\mathscr C_{f}$ et $\mathscr C_{g}$ ont un point commun d'abscisse $0$ et qu'en ce point, elles ont la même tangente $\Delta $ dont on déterminera une équation.

2. Étude de la position relative de la courbe $\mathscr C_{g}$ et de la droite $\Delta $ Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h\left(x\right)=2e^{^{\frac{x}{2}}}-x-2$.

   1. Déterminer la limite de la fonction $h$ en $-\infty $.
   2. Justifier que, pour tout réel $x, h\left(x\right)=x \left(\dfrac{e^{^{\frac{x}{2}}}}{^{\frac{x}{2}}}-1-\dfrac{2}{x}\right)$. En déduire la limite de la fonction $h$ en $+\infty $.
   3. On note $h^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, calculer $h^{\prime}\left(x\right)$ et étudier le signe de $h^{\prime}\left(x\right)$ suivant les valeurs de $x$.
   4. Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$.
   5. En déduire que, pour tout réel $x, 2e^{^{\frac{x}{2}}}-1\geqslant x+1$.
   6. Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe $\mathscr C_{g}$ et de la droite $\Delta $ ?

Étude de la position relative des courbes $\mathscr C_{f}$ et $\mathscr C_{g}$

1. Pour tout réel $x$, développer l'expression $\left(e^{^{\frac{x}{2}}}-1\right)^{2}$.
2. Déterminer la position relative des courbes $\mathscr C_{f}$ et $\mathscr C_{g}$.