Logo maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr
Connexion Inscription
edit_note Exercices 50 min
Non commencé

Surface d’un heptaèdre

$ ABCDEFGH $ est un cube de côté $ 10\, \text{cm} $.

Cube

On coupe ce cube par un plan $ BEG $ et l'on retire le tétraèdre $ BEFG $ de façon à obtenir l'heptaèdre représenté ci-dessous.

Heptaèdre
  1. Combien de sommets, de côtés, et de faces possède cet heptaèdre ?
    1. Que peut-on dire du triangle $ ABE $ ?
    2. Que peut-on dire du triangle $ BEG $ ?
  3. Quelle est l'aire du triangle $ ABE $ ?
  4. Calculer la hauteur du triangle $ BEG $ issue de l'un de ses sommets. En déduire l'aire du triangle $ BEG $. On donnera la réponse exacte puis la réponse en cm puis en cm$ ^2 $ arrondie au centième près.
  5. En déduire l'aire totale de l'heptaèdre.

Corrigé

  1. L'heptaèdre formé après avoir retiré le tétraèdre $ BEGF $ possède 7 sommets, 12 arêtes, et 7 faces.
    1. Le triangle $ ABE $ est un triangle rectangle isocèle en $ A $, car $ [AB] $ et $ [AE] $ sont des arêtes perpendiculaires du cube et $ AB = AE $.
    2. Le triangle $ BEG $ est formé par les points du plan de coupe. Ce triangle est équilatéral ; on peut, en effet. calculer les longueurs BE, BG et EG. Ce sont les hypoténuses de triangles rectangles isocèles dont les côtés de l'angle droit mesure $ 10 $ cm $ $. Elles mesurent donc toutes les trois $ 10 \sqrt{ 2 } $cm (on peut retrouver ce résultat avec le théorème de Pythagore) .

  3. Pour calculer l'aire du triangle $ ABE $, on utilise la formule de l'aire d'un triangle :

    \text{Aire}(ABE) = \frac{1}{2} \times AB \times AE = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50\, \text{cm}^2.

  4. Pour calculer la hauteur du triangle équilatéral $ BEG $, on applique la formule de la hauteur $ h $ pour un triangle équilatéral (que l'on peut retrouver avec le théorème de Pythagore) :

    h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{côté} =\frac{\sqrt{3}}{2} \times 10\sqrt{2} = 5\sqrt{6}\, \text{cm}.

    L'aire du triangle $ BEG $ se calcule alors par :

    \text{Aire}(BEG) = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{2} \times 5\sqrt{6} = 50\sqrt{3} \approx 86.60\, \text{cm}^2.

  5. Pour calculer l'aire totale de l'heptaèdre, on prend en compte les surfaces suivantes :

    • Trois triangles rectangles isocèles similaires à $ ABE $, dont chacun a une aire de $ 50\, \text{cm}^2 $.
    • Un triangle équilatéral $ BEG $, dont l'aire est de $ 86,60 \, \text{cm}^2 $.
    • Trois faces carrées identiques à $ ABCD $, chacune ayant une aire de $ 100\, \text{cm}^2 $ (puisque l'aire de chaque carré est $ 10^2 $).

    L'aire totale de l'heptaèdre est donc :

    A \approx 3 \times 50 + 86,60 + 3 \times 100 = 150 + 86,60 + 300 = 536,60\, \text{cm}^2.