Exercices
20 min
Non commencé
Sens de variation et comparaisons
$ a $ et $ b $ sont 2 nombres réels strictement positifs tels que $ a < b $.
Pour chacune des inégalités suivantes, dire si elle est vraie, fausse ou si on ne peut pas conclure.
- $ a^{2} < b^{2} $
- $ \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b} $
- $ \sqrt{a} < \sqrt{b} $
- $ |a| < |b| $
- $ \sqrt{a^{2}+1} < \sqrt{b^{2}+1} $
Corrigé
- Vrai car la fonction carrée est strictement croissante sur $ \left[0;+\infty \right[ $.
- Faux car la fonction inverse est strictement décroissante sur $ \left]0;+\infty \right[ $.
- Vrai car la fonction racine carrée est strictement croissante sur $ \left[0;+\infty \right[ $.
- Vrai car la fonction valeur absolue est strictement croissante sur $ \left[0;+\infty \right[ $.
- Vrai
$ a < b \Rightarrow a^{2} < b^{2} $ car la fonction carrée est strictement croissante sur $ \left[0;+\infty \right[ $
$ \phantom{a < b} \Rightarrow a^{2}+1 < b^{2}+1 $ car on a ajouté le même nombre à chaque membre
$ \phantom{a < b} \Rightarrow \sqrt{a^{2}+1} < \sqrt{b^{2}+1} $ car $ a^{2}+1 $ et $ b^{2}+1 $ sont positifs et la fonction racine carrée est strictement croissante sur $ \left[0;+\infty \right[ $.