Calcul du sinus connaissant le cosinus

On sait que $ \cos x = \dfrac{4}{5} $

Quelles sont les valeurs possibles de $ \sin x $ ?
Sachant, de plus, que $ 0 < x < \pi $ peut-on déterminer la valeur de $ \sin x $ ?

Corrigé

On sait que $ \left(\sin x\right)^{2}+\left(\cos x\right)^{2}=1 $

Donc :

$ \left(\sin x\right)^{2}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2}=1 $

$ \left(\sin x\right)^{2}+\dfrac{16}{25}=1 $

$ \left(\sin x\right)^{2}=1 - \dfrac{16}{25} $

$ \left(\sin x\right)^{2}=\dfrac{9}{25} $

$ \sin x=\dfrac{3}{5} $ ou $ \sin x= - \dfrac{3}{5} $

Il n'est pas possible de connaître précisément la valeur de $ \sin x $. On sait juste que $ \sin x=\dfrac{3}{5} $ ou $ \sin x= - \dfrac{3}{5} $
Pour $ 0 < x < \pi $, $ \sin x $ est positif (cf figure ci-dessous)

On a donc alors $ \sin x=\dfrac{3}{5} $