Loi de probabilité – Espérance mathématique
Une cantine scolaire propose chaque jour aux enfants de choisir un plat entre "steak-frites" et "plat du jour".
Le responsable de la cantine fait le bilan après un nombre élevé de jours et remarque que les enfants ont choisi le "plat du jour" dans 45% des cas et le "steak-frites" dans 55% des cas.
On observe le comportement alimentaire d'un enfant choisi au hasard pendant trois jours consécutifs et on admet que ses choix sont indépendants d'un jour à l'autre.
- Représenter les choix possibles de l'enfant pendant ces trois jours à l'aide d'un arbre pondéré (on notera $ S $ l'événement : l'enfant choisi le "steak-frites" un jour donné et $ \overline{S} $ l'événement contraire).
- Quelle est la probabilité que l'enfant ait choisi le "plat du jour" à tous les repas ?
- Quelle est la probabilité que l'enfant ait choisi davantage de "steak-frites" que de "plat du jour" durant ces trois jours ?
Un repas se compose d'un plat principal ( "steak-frites" ou "plat du jour" ), d'une entrée au coût fixe de 1,5 euros et d'un dessert au coût fixe de 2 euros.
Le coût du "plat du jour" est de 5 euros en moyenne tandis que le "steak-frite" revient à 4,5 euros.
On note $ X $ la variable aléatoire donnant le coût des repas scolaires d'un enfant pendant trois jours.
- Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $ X $ ?
- Donner la loi de probabilité de $ X $.
- Calculer l'espérance mathématique de $ X $. Quelle interprétation peut-on donner de cette espérance mathématique ?
Corrigé
On observe le comportement alimentaire d'un enfant pendant trois jours consécutifs :
Puisque les choix sont indépendants d'un jour à l'autre, on peut modéliser la situation par un arbre pondéré à trois niveaux :
L'événement « l'enfant a choisi le plat du jour à tous les repas » correspond au chemin unique $(\overline{S}, \overline{S}, \overline{S})$.
La probabilité est donc :$ p(\overline{S} \cap \overline{S} \cap \overline{S}) = 0,45 \times 0,45 \times 0,45 = 0,45^3 = 0,091125 $L'événement « l'enfant a choisi davantage de steak-frites que de plat du jour » correspond à choisir au moins deux fois « steak-frites » sur les trois jours (c'est-à-dire 2 ou 3 « steak-frites »).
Les chemins favorables sont : $(S, S, S)$, $(S, S, \overline{S})$, $(S, \overline{S}, S)$ et $(\overline{S}, S, S)$.La probabilité de chacun des trois chemins avec deux « steak-frites » est :
$ 0,55^2 \times 0,45 = 0,136125 $La probabilité du chemin avec trois « steak-frites » est :
$ 0,55^3 = 0,166375 $La probabilité cherchée est donc la somme des probabilités de ces quatre chemins :
$ p = 3 \times 0,136125 + 0,166375 = 0,408375 + 0,166375 = 0,57475 $
Étude du coût des repas : chaque repas se compose d'un plat principal, d'une entrée fixe à 1,5 € et d'un dessert fixe à 2 € (soit un coût fixe de 3,5 € par jour).
Calcul des coûts journaliers :
- Si l'enfant choisit « steak-frites » : le repas coûte $ 4,5 + 3,5 = 8 $ euros.
- Si l'enfant choisit « plat du jour » : le repas coûte $ 5 + 3,5 = 8,5 $ euros.
Les valeurs possibles de $ X $ sur trois jours sont :
- 3 « steak-frites » : $ X = 3 \times 8 = 24 $
- 2 « steak-frites » et 1 « plat du jour » : $ X = 2 \times 8 + 8,5 = 24,5 $
- 1 « steak-frite » et 2 « plat du jour » : $ X = 8 + 2 \times 8,5 = 25 $
- 3 « plat du jour » : $ X = 3 \times 8,5 = 25,5 $
Les valeurs prises par $ X $ sont donc : $ \{24\ ;\ 24,5\ ;\ 25\ ;\ 25,5\} $.
À l'aide de l'arbre et du dénombrement des chemins :
- Pour $ X = 24 $ (3 « steak-frites ») : un seul chemin, $ p = 0,55^3 = 0,166375 $.
- Pour $ X = 24,5 $ (2 « steak-frites ») : trois chemins, $ p = 3 \times 0,55^2 \times 0,45 = 0,408375 $.
- Pour $ X = 25 $ (1 « steak-frite ») : trois chemins, $ p = 3 \times 0,55 \times 0,45^2 = 0,334125 $.
- Pour $ X = 25,5 $ (0 « steak-frite ») : un seul chemin, $ p = 0,45^3 = 0,091125 $.
Loi de probabilité de $ X $ :
$ x_i $ 24 24,5 25 25,5 $ p(X = x_i) $ 0,166375 0,408375 0,334125 0,091125 Espérance mathématique de $ X $ :
$ E(X) = 24 \times 0,166375 + 24,5 \times 0,408375 + 25 \times 0,334125 + 25,5 \times 0,091125 $$ E(X) = 24,675 $Interprétation : Sur un grand nombre de périodes de trois jours, le coût moyen des repas d'un enfant est de 24,675 euros.