Courbe et tangentes

1. La courbe $ \mathscr C $ passe par le point $ A\left(1,0\right) $ :

   En remplaçant $ x $ par 1 et $ y $ par 0 dans l'équation de la courbe $ y=a+ \dfrac{bx+c}{x^{2}+2x+3} $, on obtient:

   Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul.

   $ a+\dfrac{b+c}{6}=0 $

   $ \dfrac{6a+b+c}{6}=0 $

   $ 6a+b+c=0 $

2. La tangente à $ \mathscr C $ en $ A $ a pour coefficient directeur $ 1 $ si et seulement si $ f^{\prime}\left(1\right)=1 $

   La dérivée de la fonction $ x\mapsto a $ est nulle; pour dériver le quotient on pose :

   Pour calculer $ f^{\prime}\left(1\right) $ on calcule $ f^{\prime}\left(x\right) $ puis on remplace $ x $ par $ 1 $.

   $ u\left(x\right)=bx+c $ donc $ u^{\prime}\left(x\right)=b $

   $ v\left(x\right)=x^{2}+2x+3 $ donc $ v^{\prime}\left(x\right)=2x+2 $

   Donc :

   $ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right) - u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)}{v\left(x\right)^{2}}=\dfrac{b\left(x^{2}+2x+3\right) - \left(bx+c\right)\left(2x+2\right)}{\left(x^{2}+2x+3\right)^{2}} $

   $ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{ - bx^{2} - 2cx+3b - 2c}{\left(x^{2}+2x+3\right)^{2}} $

   donc:

   $ f^{\prime}\left(1\right)=\dfrac{ - b - 2c+3b - 2c}{36} $

   L'égalité $ f^{\prime}\left(1\right)=1 $ se traduit par :

   $ \dfrac{ - b - 2c+3b - 2c}{36}=1 $

   $ 2b - 4c=36 $

   $ b - 2c=18 $

3. La tangente à $ \mathscr C_f $ au point d'abscisse $ a $ est "horizontale" si et seulement si $ f^{\prime}\left(a\right)=0 $.

   La tangente au point d'abscisse 3 est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si $ f^{\prime}\left(3\right)=0 $ soit :

   $ \dfrac{ - 9b - 6c+3b - 2c}{18^{2}}=0 $

   $ - 6b - 8c=0 $

   $ 3b+4c=0 $

4. On doit donc résoudre le système :
   
   $ \left(S\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a+b+c=0 \\ b - 2c=18 \\ 3b+4c=0 \end{matrix}\right. $
   
   De la seconde équation on tire $ b=18+2c $ et on remplace $ b $ par $ 18+2c $ dans les autres équations :
   
   $ \left(S\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a+\left(18+2c\right)+c=0 \\ b=18+2c \\ 3\left(18+2c\right)+4c=0 \end{matrix}\right. $
   
   $ \phantom{\left(S\right)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b=18+2c \\ 10c+54=0 \\ 6a+3c+18=0 \end{matrix}\right. $
   
   $ \phantom{\left(S\right)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c= - 5,4 \\ b=18 - 2\times 5,4 \\ a=\dfrac{1}{6}\left( - 18 - 3\times 5,4\right) \end{matrix}\right. $

On trouve donc :

$ a= - 0,3 $

$ b=7,2 $

$ c= - 5,4 $

En conclusion :

$ f\left(x\right)= - 0,3+\dfrac{7,2x - 5,4}{x^{2}+2x+3} $