Quiz
C'est faux.
L'équation $ \cos x = 1 $ possède une infinité de solutions sur $\mathbb{R}.$
Ces solutions sont les nombres de la forme $ x= 2k \pi $ où $k \in \mathbb{Z}.$
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On considère l'équation :
$ \sin x = \dfrac{ 1 }{ 2 } \quad (E)$
Sur $\mathbb{R} $, l'ensemble des solutions de l'équation $ (E) $ est :
$ S = \left\{ \dfrac{ \pi }{ 6 } +2k \pi~; - \dfrac{ \pi }{ 6 } +2k \pi \ / \ k \in \mathbb{Z} \right\} $ ;−6π+2kπ / k∈Z}
C'est faux.
L'ensemble des solutions de l'équation $ (E) $ est :
$ S = \left\{ \dfrac{ \pi }{ 6 } +2k \pi~; \dfrac{ 5\pi }{ 6 } +2k \pi \ / \ k \in \mathbb{Z} \right\} $ ;65π+2kπ / k∈Z}
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Soit un réel $\alpha $ tel que $ \cos \alpha = \dfrac{ 1 }{ 2 } $ et $ \alpha \in \left[ 0~;~\pi \right]. $
Alors $ \alpha = \dfrac{ \pi }{ 3 }. $π.
C'est vrai.
En effet on a bien $ \cos \dfrac{ \pi }{ 3 } = \dfrac{ 1 }{ 2 }.$
Par ailleurs, sur $\mathbb{R} $ les solutions de l'équation $ \cos \alpha = \cos \dfrac{ \pi }{ 3 }$π sont :
$ \left\{ \begin{matrix} \alpha = \dfrac{ \pi }{ 3 } +2k \pi \\ \\ \alpha = - \dfrac{ \pi }{ 3 } +2k \pi \end{matrix} \right. \quad k \in \mathbb{Z} $
Parmi ces solutions, seule $ \dfrac{ \pi }{ 3 } $π appartient à l'intervalle $ \left[ 0~;~\pi \right].$
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L'équation $ \cos x = - \dfrac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } $√2 admet une unique solution sur l'intervalle $ \left[ 0~;~\pi \right]. $
C'est vrai.
Sur l'intervalle $ \left[ 0~;~\pi \right]$, $ \dfrac{ 3\pi }{ 4 } $3π est l'unique solution de l'équation $ \cos x = - \dfrac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } $√2
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$ x $ est un réel de l'intervalle $ \left[ 0~;~ \pi \right] $ tel que $ \cos x = - \dfrac{ 1 }{ 2 }$
Alors, $ \sin x = - \dfrac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 }.$
C'est faux.
Sur l'intervalle $ \left[ 0~;~ \pi \right] $ l'unique solution de l'équation $ \cos x = - \dfrac{ 1 }{ 2 }$ est $x = \dfrac{ 2 \pi }{ 3 }. $
On a alors $ \sin x = \dfrac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 } .$
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Soit l'équation : $ \sin 2x = 1 $
Sur $\mathbb{R} $, l'ensemble des solutions de cette équation est :
$ S = \left\{ \dfrac{ \pi }{ 4 } +k \pi \ / \ k \in \mathbb{Z} \right\} $π+kπ / k∈Z}
C'est vrai.
$ \sin 2x = 1 $ si et seulement si :
$ 2x = \dfrac{ \pi }{ 2 } + 2k \pi $
$ x = \dfrac{ \pi }{ 4 } + \dfrac{ 2 k \pi }{ 2 } = \dfrac{ \pi }{ 4 } +k \pi $ où $ k \in \mathbb{Z}.$
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