Méthode :
$ ABC $ et $ DCE $ sont deux triangles tels que :
-
les points $ C, A, E $ et les points $ C, B, D $ sont alignés
-
les droites $ \left( AB \right) $ et $ \left( ED \right) $ sont parallèles.
Deux cas de figure sont possibles :
Le théorème de Thalès conclut que les longueurs des côtés du triangle $ ABC $ et les longueurs des côtés du triangle $ CDE $ sont proportionnelles, c’est à dire que :
$ \dfrac{ CA }{ CE } = \dfrac{ CB }{ CD } = \dfrac{ AB }{ DE } $
Attention à l’ordre des côtés – voir cours !
En général, l’un des trois rapports sera inutile pour résoudre l’exercice.
À partir des deux autres rapports, on peut calculer le côté recherché en effectuant, par exemple, un produit en croix.
Exemple 1
Calculer $ MI $ sachant que $ RS = 4 \texttt{cm} $ , $ MN = 5 \texttt{cm} $ et $ IS = 2 \texttt{cm} . $
Solution :
On se place dans les triangles $ RSI $ et $ MNI $ ;
On précise les conditions d’alignement et de parallélisme :
-
les points $ R, I, N $ ainsi que les points $ M, I, S $ sont alignés
-
les droites $ \left( MN \right) $ et $ \left( RS \right) $ sont parallèles.
Par conséquent, d’après le théorème de Thalès, on peut écrire :
$ \dfrac{ RI }{ IN} = \dfrac{ SI }{ IM } = \dfrac{ RS }{ MN } $
Ici, le rapport $ \dfrac{ RI }{ IN } $ ne nous intéresse pas car on ne connait ni la longueur $ RI $ ni la longueur $ IN $ .
On utilise les deux autres rapports en remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs :
$ \dfrac{ 2 }{ MI } $ = $\dfrac{4 }{ 5 } $
En effectuant le produit en croix, on obtient :
$ 4MI = 2 \times 5 $
$ 4MI=10 $
$ MI= \dfrac{ 10}{ 4 } = 2,5 \texttt{cm} $
Exemple 2
On donne : $ AC =3 \texttt{cm} $, $ AD = 5 \texttt{cm} $ et $ AE = 4 \texttt{cm} $.
Calculer $ BD. $
Solution :
Les triangles $ ABC $ et $ ADE$ sont en situation de Thalès car :
-
les points $ A, B, D $ ainsi que les points $ A, C, E $ sont alignés
-
les droites $ \left( BC \right) $ et $ \left( DE \right) $ sont parallèles.
En utilisant le théorème de Thalès, on obtient :
$ \dfrac{ AB }{ AD } = \dfrac{ AC }{ AE } = \dfrac{ BC }{ DE } $
Remarque
Il ne faut pas chercher à tout prix à faire figurer la longueur recherchée (ici $ BD $) dans l’égalité des rapports.
En effet, $ \left[ BD \right] $ n’est pas un côté de l’un des triangles $ ABC $ ou $ ADE $. Toutefois, il sera facile de calculer $ BD $ une fois la longueur $ AB$ connue.L’égalité des deux premiers quotients donne :
$ \dfrac{ AB }{ 5 } = \dfrac{ 3 }{ 4 } $
Avec le produit en croix :
$ 4AB = 3 \times 5 $
$ 4 AB = 15 $$ AB = \dfrac{ 15 }{ 4 } = 3,75 $
Pour calculer la distance $ BD $, il suffit maintenant de faire :
$ BD = AD – AB = 5 – 3,75 = 1,25.$Donc le segment $ \left[ BD \right] $ mesure $ 1,25 $cm.
Exemple 3
La figure est similaire à celle de ll’exercice précédent mais, cette fois, on connait : $ BD = 8\texttt{cm} $, $ AE = 9\texttt{cm} $ et $ AC = 4 \texttt{cm} $.
On cherche à calculer la longueur $ AB. $
Solution :
Le raisonnement précédent donne, là aussi :
$ \dfrac{ AB }{ AD } = \dfrac{ AC }{ AE } = \dfrac{ BC }{ DE } $
Cette fois, le calcul est légèrement plus compliqué car on ne connait ni $ AD $ ni $ AB $ (que l’on recherche).
On pose alors : $ AB = x $. Par conséquent :
$ AD = AB + BD = x + 8 $
À partir de l’égalité :
$ \dfrac{ AB }{ AD } = \dfrac{ AC }{ AE } $
on obtient l’équation :
$ \dfrac{ x }{ x+8 } = \dfrac{ 4 }{ 9 } $
et en effectuant le produit en croix :
$ 9x = 4 \left( x+8 \right) $
$ 9x = 4x + 32 $
$ 9x – 4x = 32 $
$ 5x = 32 $
$ x = \dfrac{ 32 }{ 5 } = 6,4$
La longueur $ AB $ est donc $ 6,4 $ cm.