Probabilités conditionnelles – Indépendance
1.Rappels
Rappels de définitions
- Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.
- Chacun des résultats possibles s'appelle une éventualité (ou une issue).
- L'ensemble $ \Omega $ de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers de l'expérience.
- On définit une loi de probabilité sur $ \Omega $ en associant, à chaque éventualité $ x_{i} $, un réel $ p_{i} $ compris entre $ 0 $ et $ 1 $ tel que la somme de tous les $ p_{i} $ soit égale à $ 1 $.
- Un événement est un sous-ensemble de $ \Omega $.
Exemple
Le lancer d'un dé à six faces est une expérience aléatoire d'univers comportant 6 éventualités: $ \Omega =\left\{1; 2; 3; 4; 5; 6\right\} $
- L'ensemble $ E_{1}=\left\{2; 4; 6\right\} $ est un événement. En français, cet événement peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est un nombre pair »
- L'ensemble $ E_{2}=\left\{1; 2; 3\right\} $ est un autre événement. Ce second événement peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est strictement inférieur à 4 ».
Définition
- l'événement contraire de $ A $ noté $ \bar{A} $ est l'ensemble des éventualités de $ \Omega $ qui n'appartiennent pas à $ A $.
- l'événement $ A \cup B $ (lire « A union B » ou « A ou B » est constitué des éventualités qui appartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux ensembles.
- l'événement $ A \cap B $ (lire « A inter B » ou « A et B » est constitué des éventualités qui appartiennent à la fois à A et à B.
Exemple
On reprend l'exemple précédent : $ E_{1}=\left\{2; 4; 6\right\} $ $ E_{2}=\left\{1; 2; 3\right\} $
- $ \overline{E}_{1}=\left\{1; 3; 5\right\} $ : cet événement peut se traduire par « le résultat est un nombre impair »
- $ E_{1} \cup E_{2}=\left\{1; 2; 3; 4; 6\right\} $ : cet événement peut se traduire par « le résultat est pair ou strictement inférieur à 4 »
- $ E_{1} \cap E_{2}=\left\{2\right\} $ : cet événement peut se traduire par « le résultat est pair et strictement inférieur à 4 »
Définition
On dit que A et B sont incompatibles si et seulement si $ A \cap B=\varnothing $
Remarque
Deux événements contraires sont incompatibles mais deux événements peuvent être incompatibles sans être contraires.
Exemple
« Obtenir un chiffre inférieur à 2 » et « obtenir un chiffre supérieur à 4 » sont deux événements incompatibles.
Propriété
- $ p\left(\varnothing\right)=0 $
- $ p\left(\Omega \right)=1 $
- $ p\left(\overline{A}\right)=1 - p\left(A\right) $
- $ p\left(A \cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right) - p\left(A \cap B\right) $.
Si A et B sont incompatibles, la dernière égalité devient :
- $ p\left(A \cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right) $.
2. Arbre
Lorsqu'une expérience aléatoire comporte plusieurs étapes, on utilise souvent un arbre pondéré pour la représenter.
Exemple
Dans une classe de Terminale, 52% de garçons et 48% de filles étaient candidats au baccalauréat.
80% des garçons et 85% des filles ont obtenu leur diplôme.
On choisit un élève au hasard et on note :
- $ G $ : l'événement « l'élève choisi est un garçon »;
- $ F $ : l'événement « l'élève choisie est une fille »;
- $ B $ : l'événement « l'élève choisi(e) a obtenu son baccalauréat ».
On peut représenter la situation à l'aide de l'arbre pondéré ci-dessous :
Le premier niveau indique le genre de l'élève ($ G $ ou $ F $) et le second indique l'obtention du diplôme ($ B $ ou $ \overline{B} $).
On inscrit les probabilités sur chacune des branches.
La somme des probabilités inscrites sur les branches partant d’un même nœud est toujours égale à 1.
3. Probabilités conditionnelles
Définition
Soit A et B deux événements tels que $ p\left(A\right)\neq 0 $, la probabilité de B sachant A est le nombre :
On peut aussi noter cette probabilité $ p\left(B/A\right) $.
Exemple
On reprend l'exemple du lancer d'un dé. La probabilité d'obtenir un chiffre pair sachant que le chiffre obtenu est strictement inférieur à 4 est (en cas d'équiprobabilité) :
Remarques
L'égalité précédente s'emploie souvent sous la forme :
$ p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right) $pour calculer la probabilité de $ A \cap B $.
- Attention à ne pas confondre $ p_{A}\left(B\right) $ et $ p\left(A \cap B\right) $ dans les exercices.
On doit calculer $ p_{A}\left(B\right) $ lorsque l'on sait que AAA est réalisé. Avec un arbre pondéré, les probabilités conditionnelles figurent sur les branches du second niveau et des niveaux supérieurs (s'il y en a).
La probabilité inscrite sur la branche reliant $ A $ à $ B $ est $ p_A(B) $.
Typiquement, un arbre binaire à deux niveaux se présentera ainsi :
La formule $ p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right) $ s'interprète alors de la façon suivante :
« La probabilité de l'événement $ A \cap B $ s'obtient en faisant le produit des probabilités inscrites sur le chemin passant par $ A $ et $ B $ ».
4. Événements indépendants
Définition
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :
Propriété
$ A $ et $ B $ sont indépendants si et seulement si :
Démonstration
Elle résulte directement du fait que pour deux événements quelconques :
Remarque
Comme $ A \cap B=B \cap A $, $ A $ et $ B $ sont interchangeables dans cette formule et on a également :
et
sont indépendants
.
5. Formule des probabilités totales
Définition
$ A_{1} $, $ A_{2} $, ... , $ A_{n} $ forment une partition de $ \Omega $ si et seulement si $ A_{1} \cup A_{2} . . . \cup A_{n}=\Omega $ et $ A_{i} \cap A_{j}=\varnothing $ pour $ i\neq j $.
Cas particulier fréquent
Pour toute partie $ A\subset\Omega $, $ A $ et $ \overline{A} $ forment une partition de $ \Omega $.
Propriété (Formule des probabilités totales)
Si $ A_{1} $, $ A_{2} $,... $ A_{n} $ forment une partition de $ \Omega $, pour tout événement $ B $, on a :
Cette formule peut également s'écrire à l'aide de probabilités conditionnelles :
.
Cas particulier fréquent
En utilisant la partition $ \left\{A, \overline{A}\right\} $ quels que soient les événements $ A $ et $ B $ :
.
Remarque
À l'aide d'un arbre pondéré, ce résultat s'interprète de la façon suivante :
« La probabilité de l'événement $ B $ est égale à la somme des probabilités des trajets menant à $ B $ ».
