1. Fonctions polynômes
Définition
Une fonction $P$ est une fonction polynôme si elle est définie sur $\mathbb{R}$ et si on peut l’écrire sous la forme :
$P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n – 1}x^{n – 1}+ . . . +a_{1}x+a_{0}$
Remarques
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par abus de langage, on dit souvent polynôme au lieu de fonction polynôme.
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les nombres $a_{i}$ s’appellent les coefficients du polynôme.
Définition (Degré d’un polynôme)
Si $P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n – 1}x^{n – 1}+ . . . +a_{1}x+a_{0}$ (où le coefficient $ a_n $ est non nul), on dit que $P$ est une fonction polynôme de degré $n$.
Cas particuliers
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la fonction nulle n’a pas de degré.
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une fonction constante non nulle définie par $f\left(x\right)=a$ avec $a\neq 0$ est une fonction polynôme de degré 0.
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une fonction affine $f\left(x\right)=ax+b$ avec $a\neq 0$ est une fonction polynôme de degré 1.
Propriété
Le produit d’un polynôme de degré $n$ par un polynôme de degré $m$ est un polynôme de degré $m+n$.
Remarque
Il n’existe pas de formule donnant le degré d’une somme de polynôme. On peut tout au plus dire que le degré de $ P+Q $ est inférieur ou égal à la fois au degré de $P$ et au degré de $Q$.
Propriété
Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré sont égaux.
Cas particulier
$P$ est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
Définition
On dit que $a \in \mathbb{R}$ est une racine du polynôme $P$ si et seulement si $P\left(a\right)=0$.
Exemple
$1$ est racine du polynôme $P\left(x\right)=x^{3} – 2x+1$ car $P\left(1\right)=0$
Théorème
Si $P$ est un polynôme de degré $n\geqslant 1$ et si $a$ est une racine de $P$ alors $P\left(x\right)$ peut s’écrire sous la forme :
$P\left(x\right)=\left(x – a\right)Q\left(x\right)$
où $Q$ est un polynôme de degré $n – 1$.
2. Fonctions polynômes du second degré
Définition
On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme :
$P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$
où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a \neq 0$.
Exemples
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$P\left(x\right)=2x^{2}+3x – 5$ est un polynôme du second degré.
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$P\left(x\right)=x^{2} – 1$ est un polynôme du second degré avec $b=0$ mais $Q\left(x\right)=x – 1$ n’en est pas un car $a$ n’est pas différent de zéro (c’est un polynôme du premier degré – ou une fonction affine).
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$P\left(x\right)=5\left(x – 1\right)\left(3 – 2x\right)$ est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité.
Théorème et définition
Tout polynôme du second degré $P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ peut s’écrire sous la forme :
$P\left(x\right)=a\left(x – \alpha \right)^{2}+ \beta $
avec $\alpha = – \dfrac{b}{2a}$ et $\beta =P\left(\alpha \right)$.
Cette expression s’appelle forme canonique du polynôme $P$.
Définition
Le nombre $\Delta =b^{2} – 4ac$ s’appelle le discriminant du trinôme $ax^{2}+bx+c$.
Propriété (Racines d’un polynôme du second degré)
L’équation $ax^{2}+bx+c=0$ :
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n’a aucune solution réelle si $\Delta < 0$ ;
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a une solution unique $x_{0}=\alpha = – \dfrac{b}{2a}$ si $\Delta =0$ ;
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a deux solutions $x_{1}=\dfrac{ – b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ et $x_{2}=\dfrac{ – b – \sqrt{\Delta }}{2a}$ si $\Delta > 0$.
Exemples
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$P_{1}\left(x\right)= – x^{2}+3x – 2$ :
$\Delta =9 – 4\times \left( – 1\right)\times \left( – 2\right)=1$.
$P_{1}$ possède 2 racines :
$x_{1}=\dfrac{ – 3 – 1}{ – 2}=2$ et $x_{2}=\dfrac{ – 3+1}{ – 2}=1$
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$P_{2}\left(x\right)=x^{2} – 4x+4$ :
$\Delta =16 – 4\times 1\times 4=0$.
$P_{2}$ possède une seule racine :
$x_{0}= – \dfrac{ – 4}{2}=2$.
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$P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1$ :
$\Delta =1 – 4\times 1\times 1= – 3$.
$P_{3}$ ne possède aucune racine.
Propriété (Somme et produit des racines)
Soit un polynôme $P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ dont le discriminant est strictement positif.
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La somme des racines vaut $x_{1}+x_{2}= – \dfrac{b}{a}$.
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Le produit des racines vaut $x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}$.
Remarque
Ces propriétés sont souvent utilisées pour résoudre rapidement une équation qui possède une racine « évidente ».
Par exemple l’équation $x^{2} – 4x+3=0$ admet $x_{1}=1$ comme racine puisque $1^{2} – 4\times 1+3=0$ ; comme $x_{1}\times x_{2}=\dfrac{c}{a}=3$ l’autre racine est $x_{2}=3$ .
Propriété (Signe d’un polynôme du second degré)
Le polynôme $P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ :
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est toujours du signe de $a$ si $\Delta < 0$ ;
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est toujours du signe de $a$ mais s’annule en $x_{0}=\alpha = – \dfrac{b}{2a}$ si $\Delta =0$ ;
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est du signe de $a$ « à l’extérieur des racines » (c’est à dire sur $\left] – \infty~; x_{1}\right[ \cup \left]x_{2}; +\infty \right[$) et du signe opposé « entre les racines » ( sur $\left]x_{1}; x_{2}\right[$).
Remarque
Suivant chacun des cas on peut représenter le tableau de signe de $P$ de la façon suivante :
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Si $\Delta > 0$ : $P\left(x\right)$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines (c’est à dire si $x < x_{1}$ ou $x > x_{2}$ ) et du signe opposé entre les racines (si $x_{1} < x < x_{2}$).
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Si $\Delta =0$ : $P\left(x\right)$ est toujours du signe de $a$ sauf en $x_{0}$ (où il s’annule).
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Si $\Delta < 0$ : $P\left(x\right)$ est toujours du signe de $a$.
Exemples
Si l’on reprend les exemples précédents :
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$P_{1}\left(x\right)= – x^{2}+3x – 2$ :
$\Delta > 0$ et $a < 0$.
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$P_{2}\left(x\right)=x^{2} – 4x+4$ :
$\Delta =0$ et $a > 0$.
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$P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1$ :
$\Delta < 0$ et $a > 0$.
On rappelle que les solutions de l’équation $f\left(x\right)=0$ sont les abscisses des points d’intersection de la courbe $C_{f}$ et de l’axe des abscisses.
En regroupant les propriétés de ce chapitre et celles vues en Seconde on peut résumer ces résultats dans le tableau :
