1 – Vocabulaire
Définitions
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La somme de deux termes est le résultat de l’addition de ces nombres.
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La différence de deux termes est le résultat de la soustraction de ces nombres.
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Le produit de deux facteurs est le résultat de la multiplication de ces nombres.
Exemples
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$5 = 3+2$ : $\quad 5$ est la somme des termes $3$ et $2$.
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$1 = 3 – 2$ : $\quad1$ est la différence des termes $3$ et $2$.
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$6 = 3\times 2$ : $\quad6$ est le produit des facteurs $3$ et $2$.
Remarques
On regroupe souvent somme et différence sous le même terme : somme algébrique. En effet, une soustraction d’un nombre positif correspond à une addition d’un nombre négatif.
Lorsqu’une expression contient plusieurs opérations, il s’agit :
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d’une somme algébrique si la dernière opération effectuée (la moins prioritaire) est une addition ou une soustraction. Par exemple : $2x – 3y$;
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d’un produit si la dernière opération effectuée (la moins prioritaire) est une multiplication. Par exemple : $3x\left(y – 3\right)$.
2 – Priorités de calculs
Propriétés
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On effectue d’abord les calculs des expressions entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.
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Puis on effectue les puissances avant les multiplications, les divisions, les additions et les soustractions.
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Puis on effectue d’abord les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.
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Enfin, on effectue les calculs de la gauche vers la droite.
Dans une somme algébrique, on peut également regrouper ensemble les termes de même signe.
Exemples
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$A=5 – 3\times 7+2\times \left(4 – 1\right)$
On effectue d’abord les parenthèses :
$A=5 – 3\times 7+2\times 3$
Puis les multiplications :
$A=5 – 21+6$
Puis les opérations restantes (en regroupant les termes positifs par exemple) :
$A=5 – 21+6=11 – 21= – 10$
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Attention à bien tenir compte de la priorité des opération même si l’expression contient des lettres. Par exemple :
$B=5+\left(7 – 4\right)\times x$
On peut effectuer le calcul dans la parenthèse :
$B=5+3\times x=5+3x$
On ne peut pas effectuer l’addition $5+3$ car la multiplication $3\times x$ est prioritaire. On ne peut donc pas aller plus loin.
3 – Fractions
Propriétés
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Pour additionner (ou soustraire) des fractions, on ajoute (ou on soustrait) leurs numérateurs, après les avoir mises au même dénominateur.
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Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en simplifiant au maximum.
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Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.
Exemples
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$A=\dfrac{3}{4} – \dfrac{2}{5}$
$A=\dfrac{3\times 5}{4\times 5} – \dfrac{2\times 4}{5\times 4}$
$A=\dfrac{15}{20} – \dfrac{8}{20}$
$A=\dfrac{7}{20}$
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$B=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{5}$
$B=\dfrac{3\times 2}{4 \times 5}$
$B=\dfrac{3\times 2}{2\times 2\times 5}$
$B=\dfrac{3}{10}$
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$C=\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5}$
$C=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{5}{2}$
$C=\dfrac{3\times 5}{4\times 2}$
$C=\dfrac{15}{8}$
4 – Puissances
Propriétés
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Produit : $a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}$
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Inverse : $\dfrac{1}{a^{m}}=a^{ – m}$
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Quotient :$\dfrac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n – m}$
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Puissance de puissance :$\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n\times m}$
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Exposants identiques :$a^{n}\times b^{n}=\left(ab\right)^{n}$
Exemples
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$A=3^{2}\times 3^{3}=3^{2+3}=3^{5}$
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$B=\dfrac{2^{3}}{2^{ – 4}}=2^{3 – \left( – 4\right)}=2^{7}$
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$C=\left(10^{2}\right)^{ – 3}=10^{ – 6}$
Remarques
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Ces formules peuvent, bien sûr, être utilisées dans les deux sens. Par exemple, pour passer de $\dfrac{1}{a^{m}}$ à $a^{ – m}$ ou pour passer de $a^{ – m}$ à $\dfrac{1}{a^{m}}$
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Cas particulier de la dernière formule :
$\left( – a\right)^{n}=\left( – 1\times a\right)^{n}=\left( – 1\right)^{n}\times a^{n}$
Donc pour $n$ impair : $\left( – a\right)^{n}= – a^{n}$ car alors $\left( – 1\right)^{n}= – 1$
Pour $n$ pair : $\left( – a\right)^{n}=a^{n}$ car alors $\left( – 1\right)^{n}=1$
Définition
On appelle écriture scientifique d’un nombre positif, la notation $a\times 10^{n}$ avec $n$ entier relatif et $1 \leqslant a < 10$.
Remarque
L’encadrement $1 \leqslant a < 10$ signifie que l'écriture décimale de $a$ comporte un et un seul chiffre non nul avant la virgule.
Exemple
$ D=\dfrac{5\times 10^{5}\times 10^{ – 2}\times 7}{2\times 10^{7}}$
Donner l’écriture scientifique de $D$, puis son écriture décimale.
On regroupe les puissances de 10 d’un coté et les nombres restants de l’autre:
$ D=\dfrac{5\times 7}{2}\times \dfrac{10^{5}\times 10^{ – 2}}{10^{7}}$
On simplifie :
$ D=\dfrac{35}{2}\times \dfrac{10^{3}}{10^{7}}$
$ D=17,5\times 10^{ – 4}$
L’écriture scientifique de $D$ est :
$ D=1,75\times 10^{ – 3}$
L’écriture décimale de $D$ est :
$ D=0,00175 $