Fonction exponentielle
La fonction exponentielle est une fonction mathématique définie par $ f(x) = e^x $, où $ e \approx 2.718 $ Cette fonction possède la propriété d'être égale à sa fonction dérivée.
Elle se caractérise par une croissance exponentielle rapide et est utilisée dans de nombreux domaines, y compris la finance, la biologie, et la physique. Comprendre ses propriétéset retenir l'allure de son graphique est essentiel pour les chapitres suivants .
1. Définition de la fonction exponentielle
Théorème et Définition
Il existe une unique fonction $ f $ dérivable sur $ \mathbb{R} $ telle que $ f^{\prime}=f $ et $ f\left(0\right)=1 $
Cette fonction est appelée fonction exponentielle (de base e) et notée $ \text{exp} $.
Remarque
L'existence d'une telle fonction est admise.
Son unicité est démontrée dans l'exercice : [ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle
Notation
On note $ \text{e}=\text{exp}\left(1\right) $.
On démontre que pour tout entier relatif $ n \in \mathbb{Z} $ : $ \text{exp}\left(n\right)=\text{e}^{n} $
Cette propriété conduit à noter $ \text{e}^{x} $ l'exponentielle de $ x $ pour tout $ x \in \mathbb{R} $
Remarque
On démontre (mais c'est hors programme) que $ \text{e} \left(\approx 2,71828 . . . \right) $ est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.
2. Etude de la fonction exponentielle
Propriété
La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur $ \mathbb{R} $.
Remarque
Cette propriété très importante est démontrée dans l'exercice : [ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle
Propriété
Soit $ u $ une fonction dérivable sur un intervalle $ I $.
Alors la fonction $ f~: x\mapsto \text{e}^{u\left(x\right)} $ est dérivable sur $ I $ et :
Démonstration
On utilise le théorème de dérivation de fonctions composées.
Exemple
Soit $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=\text{e}^{ - x} $
$ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et $ f^{\prime}\left(x\right)= - \text{e}^{ - x} $
Limites
- $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\text{e}^{x}=0 $
- $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{x}=+\infty $
Remarque
- Ces résultats sont démontrés dans l'exercice : [ROC] Limites de la fonction exponentielle
- On déduit des résultats précédents le tableau de variation et l'allure de la courbe de la fonction exponentielle:
Tableau de variation de la fonction exponentielle
Graphique de la fonction exponentielle
Théorème ( «Croissance comparée»)
- $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x\text{e}^{x}=0 $
- $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\text{e}^{x}}{x}=+\infty $
- $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\text{e}^{x} - 1}{x}=1 $
Remarque
- Voir, à nouveau, l'exercice : [ROC] Limites de la fonction exponentielle pour la démonstration des deux premières formules.
- Les deux premières formules peuvent se généraliser de la façon suivante :
Pour tout entier $ n > 0 $ :
$ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x^{n}\text{e}^{x}=0 $
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\text{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty $ - La troisième formule s'obtient en utilisant la définition du nombre dérivé pour x=0 : (voir Calculer une limite à l'aide du nombre dérivé).
$ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\text{e}^{x} - 1}{x}=\text{exp}^{\prime}\left(0\right)=\text{exp}\left(0\right)=1 $
Théorème
La fonction exponentielle étant strictement croissante, si $ a $ et $ b $ sont deux réels :
- $ \text{e}^{a}=\text{e}^{b} $ si et seulement si $ a=b $
- $ \text{e}^{a} < \text{e}^{b} $ si et seulement si $ a < b $
Remarque
Ces résultats sont extrêmement utiles pour résoudre équations et inéquations.
3. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
Propriété
Pour tout réels $ a $ et $ b $ et tout entier $ n \in \mathbb{Z} $ :
- $ \text{e}^{a+b}=\text{e}^{a} \times \text{e}^{b} $
- $ \text{e}^{ - a}=\dfrac{1}{\text{e}^{a}} $
- $ \text{e}^{a - b}=\dfrac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}} $
- $ \left(\text{e}^{a}\right)^{n}=\text{e}^{na} $
Remarque
- Ces propriétés sont démontrées dans l'exercice : [ROC] Propriétés algébriques de la fonction exponentielle Elles sont similaires aux propriétés des puissances vues au collège (et justifient la notation $ \text{e}^{x} $)
- Si l'on pose $ a=\dfrac{1}{2} $ et $ n=2 $ dans la formule $ \left(\text{e}^{a}\right)^{n}=\text{e}^{na} $ on obtient $ (\text{e}^{1/2})^{2}=\text{e}^{1}=\text{e} $ donc comme $ e^{1/2} > 0 $ : $ \text{e}^{1/2}=\sqrt{\text{e}} $