Variations d’une fonction – Fonctions associées
I - Rappels
Définition
On dit qu'une fonction $ f $ définie sur un intervalle $ I $ est :
- croissante sur l'intervalle $ I $: si pour tous réels $ x_{1} $ et $ x_{2} $ appartenant à $ I $ tels que $ x_{1}\leqslant x_{2} $ on a $ f\left(x_{1}\right)\leqslant f\left(x_{2}\right) $.
- décroissante sur l'intervalle $ I $: si pour tous réels $ x_{1} $ et $ x_{2} $ appartenant à $ I $ tels que $ x_{1} \leqslant x_{2} $ on a $ f\left(x_{1}\right) \geqslant f\left(x_{2}\right) $.
- strictement croissante sur l'intervalle $ I $: si pour tous réels $ x_{1} $ et $ x_{2} $ appartenant à $ I $ tels que $ x_{1} < x_{2} $ on a $ f\left(x_{1}\right) < f\left(x_{2}\right) $.
- strictement décroissante sur l'intervalle $ I $: si pour tous réels $ x_{1} $ et $ x_{2} $ appartenant à $ I $ tels que $ x_{1} < x_{2} $ on a $ f\left(x_{1}\right) > f\left(x_{2}\right) $.
Remarque
- Une fonction qui dont le sens de variations ne change pas sur $ I $ (c'est à dire qui est soit croissante sur $ I $ soit décroissante sur $ I $) est dite monotone sur $ I $.
- Une fonction constante ($ x\mapsto k $ où $ k $ est un réel fixé) est à la fois croissante et décroissante mais n'est ni strictement croissante, ni strictement décroissante.
Propriété
Une fonction affine $ f : x\mapsto ax+b $ est croissante si son coefficient directeur $ a $ est positif ou nul, et décroissante si son coefficient directeur est négatif ou nul.
Remarque
Si le coefficient directeur d'une fonction affine est nul la fonction est constante.
II - Fonction associées
Fonctions $u+k$
Soit $ u $ une fonction définie sur une partie $ \mathscr D $ de $ \mathbb{R} $ et $ k \in \mathbb{R} $
On note $ u+k $ la fonction définie sur $ \mathscr D $ par :
Propriété
Quel que soit $ k \in \mathbb{R} $, $ u+k $ a le même sens de variation que $ u $ sur $ \mathscr D $.
Exemple
Soit $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=x^{2} - 1 $.
Si on note $ u $ la fonction carrée définie sur $ \mathbb{R} $ par $ u : x \mapsto x^{2} $
on a $ f = u - 1 $
Le sens de variation de $ f $ est donc identique à celui de $ u $ d'après la propriété précédente.
Donc
- $ f $ est décroissante sur l'intervalle $ \left] - \infty ; 0\right] $
- $ f $ est croissante sur l'intervalle $ \left[0 ; +\infty \right[ $
Fonctions $k\times u$
Soit $ u $ une fonction définie sur une partie $ \mathscr D $ de $ \mathbb{R} $ et $ k \in \mathbb{R} $
On note $ ku $ la fonction définie sur $ \mathscr D $ par :
Propriété
- si $ k > 0 $, $ ku $ a le même sens de variation que $ u $ sur $ \mathscr D $.
- si $ k < 0 $, le sens de variation de $ ku $ est le contraire de celui de $ u $ sur $ \mathscr D $.
Exemple
Soit $ f $ définie sur $ \left] - \infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[ $ par $ f\left(x\right)= - \dfrac{1}{x} $.
Si on note $ u $ la fonction inverse définie sur $ \left] - \infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[ $ par $ u : x \mapsto \dfrac{1}{x} $
on a $ f = - 1\times u $
Comme $ - 1 $ est négatif, le sens de variation de $ f $ est inverse de celui de $ u $ sur chacun des intervalles $ \left] - \infty ; 0\right[ $ et $ \left]0 ; +\infty \right[ $
Donc $ f $ est croissante sur l'intervalle $ \left] - \infty ; 0\right] $ et sur l'intervalle $ \left]0 ; +\infty \right[ $
Fonctions $\sqrt{u}$
Soit $ u $ une fonction définie sur une partie $ \mathscr D $ de $ \mathbb{R} $.
On note $ \sqrt{u} $ la fonction définie, pour tout $ x $ de $ \mathscr D $ tel que $ u\left(x\right) \geqslant 0 $, par :
Propriété
$ \sqrt{u} $ a le même sens de variation que $ u $ sur tout intervalle où $ u $ est positive.
Exemple
Soit $ f : x \mapsto \sqrt{x - 2} $
$ f $ est définie si et seulement si $ x - 2 \geqslant 0 $, c'est à dire sur $ \mathscr D=\left[2 ; +\infty \right[ $
Sur l'intervalle $ \mathscr D $ la fonction $ f $ est croissante car la fonction $ x \mapsto x - 2 $ l'est (fonction affine dont le coefficient directeur est positif).
Fonctions $\frac{1}{u}$
Soit $ u $ une fonction définie sur une partie $ \mathscr D $ de $ \mathbb{R} $.
On note $ \dfrac{1}{u} $ la fonction définie pour tout $ x $ de $ \mathscr D $ tel que $u\left(x\right) \neq 0$ par :
Propriété
$ \dfrac{1}{u} $ a le sens de variation contraire de $ u $ sur tout intervalle où $ u $ ne s'annule pas et garde un signe constant.
Exemple
Soit $ f : x \mapsto \dfrac{1}{x+1} $
$ f $ est définie si et seulement si $ x+1 \neq 0 $, c'est à dire sur $ \mathscr D=\left] - \infty ; - 1\right[ \cup \left] - 1 ; +\infty \right[ $
La fonction $ x \mapsto x+1 $ est croissante sur $ \mathbb{R} $
Sur l'intervalle $ \left] - \infty ; - 1\right[ $ la fonction $ x \mapsto x+1 $ est strictement négative (donc a un signe constant).
Sur l'intervalle $ \left] - 1 ; +\infty \right[ $ la fonction $ x \mapsto x+1 $ est strictement positive (donc a un signe constant).
Donc $ f $ est strictement décroissante sur chacun des intervalles $ \left] - \infty ; - 1\right[ $ et $ \left] - 1 ; +\infty \right[ $
