1. Nombre dérivé
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soient 2 réels $x_{0}$ et $h\neq 0$ tels que $x_{0} \in I$ et $x_{0}+h \in I$.
Le taux de variation (ou taux d’accroissement) de la fonction $f$ entre $x_{0}$ et $x_{0}+h$ est le nombre :
$T=\dfrac{f\left(x_{0}+h\right) – f\left(x_{0}\right)}{h}$
Définition
Une fonction $f$ est dérivable en $x_{0}$ si et seulement si le nombre $\dfrac{f\left(x_{0}+h\right) – f\left(x_{0}\right)}{h}$ a pour limite un certain réel $l$ lorsque $h$ tend vers 0.
$l$ est appelée nombre dérivé de $f$ en $x_{0}$, on le note $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$.
On écrit : $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left(x_{0}+h\right) – f\left(x_{0}\right)}{h}$.
Remarques
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Le quotient $\dfrac{f\left(x_{0}+h\right) – f\left(x_{0}\right)}{h}$ est le taux d’accroissement de $f$ entre $x_{0}$ et $x_{0}+h$.
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« le nombre $\dfrac{f\left(x_{0}+h\right) – f\left(x_{0}\right)}{h}$ a pour limite un certain réel $l$ lorsque $h$ tend vers 0 » signifie que $\dfrac{f\left(x_{0}+h\right) – f\left(x_{0}\right)}{h}$ se rapproche de $l$ lorsque $h$ se rapproche de 0.
Une définition plus rigoureuse de la notion de limite sera vue en Terminale.
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On peut également définir le nombre dérivé de la façon suivante:
$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{f\left(x\right) – f\left(x_{0}\right)}{x – x_{0}}$
(cela correspond au changement de variable $x=x_{0}+h$)
Exemple
Calculons le nombre dérivé de la fonction $f : x \mapsto x^{2}$ pour $x=1$.
Ce nombre se note $f^{\prime}\left(1\right)$ et vaut :
$f^{\prime}\left(1\right)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left(1+h\right)^{2} – 1^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{2h+h^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}2+h$
Or quand $h$ tend vers 0, $2+h$ tend vers 2; donc $f^{\prime}\left(1\right)=2$.
Remarque:
Interprétation graphique du nombre dérivé :
Soit $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$.
Lorsque $h$ tend vers 0, $B$ « se rapproche » de $A$ et la droite $\left(AB\right)$ se rapproche de la tangente
$\mathscr{T}$.
Le nombre dérivée $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $x_{0}$.
Propriété
Soit $f$ une fonction dérivable en $x_{0}$ de courbe représentative $\mathscr{C}_f$, l’équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $x_{0}$ est :
$y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x – x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$
Démonstration
D’après la propriété précédente, la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $x_{0}$ est une droite de coefficient directeur $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$. Son équation est donc de la forme :
$y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x+b$
On sait que la tangente passe par le point $A$ de coordonnées $\left(x_{0}; f\left(x_{0}\right)\right)$ donc :
$f\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+b$
$b= – f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+f\left(x_{0}\right)$
L’équation de la tangente est donc :
$y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x – f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+f\left(x_{0}\right)$
Soit :
$y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x – x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$
2. Fonction dérivée
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si et seulement si pour tout $x \in I$, le nombre dérivé $f^{\prime}\left(x\right)$ existe.
La fonction qui à $x \in I$ associe le nombre dérivé de $f$ en $x$ s’appelle la fonction dérivée et se note $f^{\prime}$
Propriétés
Dérivée des fonctions usuelles :
| Fonction | Dérivée | Ensemble de dérivabilité |
| $k$ $\left(k\in \mathbb{R}\right)$ | $0$ | $\mathbb{R}$ |
| $x$ | $1$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^{n}$ $\left(n\in \mathbb{N}\right)$ | $nx^{n – 1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{x^{n}}$ $\left(n\in \mathbb{N}\right)$ | $ – \dfrac{n}{x^{n+1}}$ | $\mathbb{R} – \left\{0\right\}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $\left]0;+\infty \right[$ |
Propriétés
Formules de base :
Si $u$ et $v$ sont 2 fonctions dérivables sur un intervalle $I$. Sur cet intervalle :
| Fonction | Dérivée |
| $u+v$ | $u^{\prime}+v^{\prime}$ |
| $ku$ $\left(k\in \mathbb{R}\right)$ | $ku^{\prime} $ |
| $\dfrac{1}{u}$ (avec $u\left(x\right)\neq 0$ sur $I$) | $ – \dfrac{u^{\prime} }{u^{2}} $ |
| $uv$ | $u^{\prime}v+uv^{\prime}$ |
| $\dfrac{u}{v}$ (avec $v\left(x\right)\neq 0$ sur $I$) | $\dfrac{u^{\prime}v – uv^{\prime}}{v^{2}} $ |
| $\sqrt{u}$ (avec $u\geqslant 0$ sur $I$) | $\dfrac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}}$ lorsque $u > 0$ |
Exemple
On cherche à calculer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f\left(x\right)=\dfrac{x}{x^{2}+1}$
On pose
$u\left(x\right)=x$ et $v\left(x\right)=x^{2}+1$
On a alors
$u^{\prime}\left(x\right)=1$
$v^{\prime}\left(x\right)=2x$
car la dérivée de la fonction $x \mapsto x^{2}$ est la fonction $x \mapsto 2x$ (formule $nx^{n – 1}$ avec $n=2$) et la dérivée de la fonction constante $x \mapsto 1$ est la fonction nulle.
La dérivée du quotient est donc :
$f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right) – u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)}{v\left(x\right)^{2}}=\dfrac{1\times \left(x^{2}+1\right) – x\times 2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\dfrac{1 – x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$
Remarques
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Si le dénominateur d’une fraction est constant, il est très maladroit d’utiliser la formule
$\left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v – uv^{\prime}}{v^{2}}$.
Par exemple pour dériver $f\left(x\right)=\dfrac{x^{2}+1}{5}$ on écrira :
$f\left(x\right)=\dfrac{1}{5}\times \left(x^{2}+1\right)$
donc $f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{5}\times \left(2x\right)$ (formule $\left(ku\right)^{\prime}=ku^{\prime}$)
$f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{2x}{5}$
-
De même, si le numérateur d’une fraction est constant on utilisera, de préférence, la formule :
$\left(\dfrac{1}{u}\right)^{\prime}= – \dfrac{u^{\prime}}{u^{2}}$
Par exemple, si $f\left(x\right)=\dfrac{5}{x^{2}+1}$
$f\left(x\right)=5\times \dfrac{1}{x^{2}+1}$ donc :
$f^{\prime}\left(x\right)=5\times \left( – \dfrac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\right)= – \dfrac{10x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$ (formule $\left(\dfrac{1}{u}\right)^{\prime}= – \dfrac{u^{\prime}}{u^{2}}$ avec $u\left(x\right)=x^{2}+1$ donc $u^{\prime}\left(x\right)=2x$)
3. Fonction dérivée et sens de variations
Théorème
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
-
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f^{\prime}\left(x\right)\geqslant 0$ pour tout $x \in I$
-
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f^{\prime}\left(x\right)\leqslant 0$ pour tout $x \in I$
Remarque
Si $f^{\prime}\left(x\right) > 0$ (resp. $f^{\prime}\left(x\right) < 0$) sur $I$, alors $f$ est strictement croissante (resp. décroissante) sur $I$.
Mais la réciproque est fausse. Une fonction peut être strictement croissante sur $I$ alors que sa dérivée s’annule sur $I$. C’est le cas par exemple de la fonction $x \mapsto x^{3}$ qui est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ alors que sa dérivée $x \mapsto 3x^{2}$ s’annule pour $x=0$
Exemple
Reprenons la fonction de l’exemple précédent.
$f\left(x\right)=\dfrac{x}{x^{2}+1}$
$f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1 – x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$
Le dénominateur de $f^{\prime}\left(x\right)$ est toujours strictement positif.
Le numérateur de $f^{\prime}\left(x\right)$ peut se factoriser : $1 – x^{2}=\left(1 – x\right)\left(1+x\right)$
Une facile étude de signe montre que $f^{\prime}$ est strictement négative sur $\left] – \infty ; – 1\right[$ et $\left]1 ; +\infty \right[$ et est strictement positive sur $\left] – 1 ; 1\right[$.
Par ailleurs, $f\left( – 1\right)= – \dfrac{1}{2}$ et $f\left(1\right)=\dfrac{1}{2}$
On en déduit le tableau de variations de $f$ (que l’on regroupe habituellement avec le tableau de signe de $f^{\prime}$) :
