Cours
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Calcul littéral
1 - Développer
Définition
Développer un produit, c'est l'écrire sous la forme d'une somme (ou d'une différence).
Rappel
- Une expression est une somme (algébrique) si la dernière opération effectuée (celle qui donne le résultat final) est une addition ou une soustraction.
- Une expression est un produit si la dernière opération effectuée (celle qui donne le résultat final) est une multiplication.
Par exemple :
- $ 3\times 5 - 2\times 45 $ et $ 2x+8y $ sont des sommes algébriques
- $ 5\times \left(3+8\right) $ et $ \left(x+1\right)\left(y - 5\right) $ sont des produits.
Propriétés (Distributivité)
- $ k\left(a+b\right)=ka+kb $
- $ k\left(a - b\right)=ka - kb $
- $ \left(a+b\right)\left(c+d\right)=ac+ad+bc+bd $
Exemple
Développer les expressions suivantes:
- $ A=3\left(x - 2\right) $
$ A=3x - 6 $ - $ B=\left(x+3\right)\left(2x - 5\right) $
$ B=2x^{2} - 5x+6x - 15 $
$ B=2x^{2}+x - 15 $
Propriétés (Identités remarquables - Développement)
- $ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} $
- $ \left(a - b\right)^{2}=a^{2} - 2ab+b^{2} $
- $ \left(a+b\right)\left(a - b\right)=a^{2} - b^{2} $
Exemple
Développer les expressions suivantes:
- $ C=\left(x+1\right)^{2} $
$ C=x^{2}+2\times x\times 1+1^{2} $ (première identité remarquable avec a=xa=xa=x et b=1b=1b=1) $ C=x^{2}+2x+1 $ - $ D=\left(2x - 1\right)^{2} $
$ D=4x^{2} - 2\times 2x\times 1+1^{2} $ (seconde identité remarquable avec a=2xa=2xa=2x et b=1b=1b=1) $ D=4x^{2} - 4x+1 $ - $ E=\left(x+2\right)\left(x - 2\right) $
$ E=x^{2} - 2^{2} $ (troisième identité remarquable avec a=xa=xa=x et b=2b=2b=2) $ E=x^{2} - 4 $
2 - Factoriser
Définition
Factoriser une somme (ou une différence), c'est l'écrire sous la forme d'un produit.
Propriété
- $ ka+kb=k\left(a+b\right) $
- $ ka - kb=k\left(a - b\right) $
k est le facteur commun
Exemple
Factoriser les expressions suivantes:
- $ A=\left(x+3\right)\left(x+2\right) - 7\left(x+2\right) $
Le facteur commun est $ \left(x+2\right) $
$ A=\left(x+2\right)\left[\left(x+3\right) - 7\right] $
$ A=\left(x+2\right)\left(x - 4\right) $ - $ B=\left(2x+1\right)^{2} - \left(2x+1\right)\left(x+3\right) $
$ B=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right) - \left(2x+1\right)\left(x+3\right) $
Le facteur commun est $ \left(2x+1\right) $
$ B=\left(2x+1\right)\left[\left(2x+1\right) - \left(x+3\right)\right] $
$ B=\left(2x+1\right)\left(2x+1 - x - 3\right) $
$ B=\left(2x+1\right)\left(x - 2\right) $
Remarque
- Avec des carrés :
Pour factoriser $ \left(x+1\right)^{2}+\left(x+1\right)\left(x+2\right) $, on utilise le fait que $ \left(x+1\right)^{2}=\left(x+1\right)\left(x+1\right) $ ce qui fait apparaître le facteur commun $ \left(x+1\right) $ :
$ \left(x+1\right)^{2}+\left(x+1\right)\left(x+2\right)={\color{red} {\left(x+1\right)}}\left(x+1\right)+{\color{red} {\left(x+1\right)}}\left(x+2\right) $
$ =\left(x+1\right)\left[\left(x+1\right)+\left(x+2\right)\right] $
$ =\left(x+1\right)\left(2x+3\right) $ - Attention à ne pas oublier le 1 !
Pour factoriser $ x^{2} - x $ on écrit que $ x^{2}=x\times x $ et $ x=x\times 1 $;
$ x $ est alors facteur commun :
$ x^{2} - x = {\color{red} x}\times x - {\color{red} x}\times 1 = x \left(x - 1\right) $
Propriétés (Identités remarquables - Factorisation)
- $ a^{2}+2ab+b^{2}=\left(a+b\right)^{2} $
- $ a^{2} - 2ab+b^{2}=\left(a - b\right)^{2} $
- $ a^{2} - b^{2}=\left(a+b\right)\left(a - b\right) $
Exemple
Factoriser les expressions suivantes:
- $ C=x^{2} - 6x+9 $
$ C=x^{2} - 2\times x\times 3+3^{2} $
$ C=\left(x - 3\right)^{2} $ (seconde identité remarquable avec a=xa=xa=x et b=3b=3b=3) - $ D=25x^{2} - 4 $
$ D=\left(5x\right)^{2} - 2^{2} $
$ D=\left(5x+2\right)\left(5x - 2\right) $ (troisième identité remarquable avec a=5xa=5xa=5x et b=2b=2b=2)