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edit_note Exercices 30 min
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Famille de fonctions – Tableaux de variations

Soit $ m $ un nombre réel donné et $ f_{ m } $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par :

$ f_{ m } (x) = \dfrac{ x^2 +m }{ x^2 +1 } $
  1. Justifier que la fonction $ f_{ m } $ est bien définie sur $ \mathbb{R} . $
  2. Étudier la parité de la fonction $ f_{ m } . $
  3. Calculer $ f^{\prime}_{ m } (x) $ pour tout réel $ x $.
    1. Dans cette question, on suppose $ m < 1. $
      Dresser le tableau de variations de la fonction $ f_{ m } . $
    2. Même question si $ m > 1. $
    3. Que peut-on dire de la fonction $ f_{ 1 } $ (obtenue pour $ m=1 $ )  ?

Corrigé

  1. Pour montrer que la fonction $ f_{ m } $ est définie sur $ \mathbb{R} $, il suffit de montrer que son dénominateur ne s'annule pas sur $ \mathbb{R} . $

    Or, pour tout réel $ x $, $ x^2 \geqslant 0 $ donc $ x^2 +1 \geqslant 1. $
    $ x^2 + 1 $ n'est donc jamais nul sur $ \mathbb{R}. $
  2. $ f_{ m } ( - x) = \dfrac{ ( - x) ^2 +m }{ ( - x) ^2 +1 } = \dfrac{ x^2 +m }{ x^2 +1 } =f_{ m } (x) . $

    La fonction $ f_{ m } $ est donc paire quelle que soit la valeur de $ m. $
  3. Posons : $ u (x) =x^2 +m $ et $ v (x) =x^2 +1 $.

    Alors : $ u^{\prime} (x) =2x $ et $ v^{\prime} (x) =2x $

    Par conséquent :

    $ f^{\prime} _{ m } (x) = \dfrac{ u^{\prime} (x) v (x) - u (x) v^{\prime} (x) }{ v (x) ^2 } $

    $ \phantom{ f^{\prime} _{ m } (x) } = \dfrac{ 2x (x^2 +1) - 2x (x^2 +m) }{ \left( x^2 +1 \right) ^2 } $

    $ \phantom{ f^{\prime} _{ m } (x) } = \dfrac{ 2x ( 1 - m) }{ \left( x^2 +1 \right) ^2 } . $

    1. $ \left( x^2 +1 \right) ^2 $ est strictement positif quel que soit le réel $ x. $

      Si $ m < 1 $, alors $ 1 - m $ est strictement positif ; $ f^{\prime} _{ m } (x) $ est donc du signe de $ x $.

      $ f_{ m } $ admet donc un maximum pour $ x=0 $ ; ce maximum est égal à :

      $ f_{ m } (0) = \dfrac{ 0^2 +m }{ 0^2 +1 } =m $ 

      D'où le tableau de variations :

      tableau de variations de la fonction f

    2. Par contre, si $ m > 1 $, $ 1 - m $ est strictement négatif ; $ f^{\prime} _{ m } (x) $ est donc du signe opposé à $ x $.

      $ f_{ m } $ admet donc un maximum pour $ x=0 $ ; le tableau de variations est alors :

      tableau de variations de la fonction f
    3. Pour $ m=1 $ :

      $ f_{ 1 } (x) = \dfrac{ x^2 +1 }{ x^2 +1 } =1 $ 

      La fonction $ f_{ 1 } $ est donc constante et égale à 1 sur $ \mathbb{R} . $