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edit_note Exercices 20 min
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Fonction exponentielle – Contrôle continu 1ère – 2020 – Sujet zéro

Exercice 2 (5 points)

Une entreprise de menuiserie réalise des découpes dans des plaques rectangulaires de bois.

Dans un repère orthonormé d'unité 30 cm ci-dessous, on modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe $ \mathscr{C}_{ f } $ représentatif de la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ [ - 1~;~2 ] $ par :

$ f( x )=( - x+2 )\text{e}^{ x }. $

Le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe $ \mathscr{C}_{ f } $. On nomme $ L $ la longueur de la plaque rectangulaire et $ \mathscr{l} $ sa largeur.

  1. On note $ f^{\prime} $ la fonction dérivée de $ f $.

    1. Montrer que pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ [ - 1~;~2 ] $ , $ f^{\prime} ( x )=( - x+1 )\text{e}^{ x }. $
    2. En déduire le tableau de variations de la fonction $ f $ sur $ [ - 1~;~2 ]. $
  2. La longueur $ L $ de la plaque rectangulaire est de 90 cm. Trouver sa largeur $ \mathscr{l} $ exacte en centimètres.

Corrigé

    1. Pour calculer la dérivée $ f^{\prime} $ de la fonction $ f $ on utilise la formule :

      $ ( uv )^{\prime} =u^{\prime} v+uv^{\prime} $

      où $ u $ et $ v $ sont les fonctions définies par :

      • $ u( x )= - x+2 $
      • $ v( x )=\text{e}^{ x } $

      On a alors :

      • $ u^{\prime} ( x )= - 1 $
      • $ v^{\prime} ( x )=\text{e}^{ x } $

      Par conséquent, pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ \left[ - 1~;~2\right] $ :

      $ f^{\prime} ( x )= - \text{e}^{ x }+( - x+2 )\text{e}^{ x } $
      $ \phantom{f^{\prime} ( x )}=\text{e}^{ x }\left( - 1 - x+2 \right) $
      $ \phantom{f^{\prime} ( x )}=\left( - x+1 \right)\text{e}^{ x }. $

    2. Pour tout réel $ x $, $ \text{e}^{ x } $ est strictement positif ; donc $ f^{\prime} $ est du signe de $ - x+1 $ c'est-à-dire :

      • $ f^{\prime} $ s'annule pour $ x=1 $
      • $ f^{\prime} $ est strictement positive pour $ x < 1 $
      • $ f^{\prime} $ est strictement négative pour $ x > 1. $

      On a par ailleurs :

      • $ f( - 1 )=( 1+2 )\text{e}^{ - 1 }=3\text{e}^{ - 1 }=\dfrac{ 3 }{ \text{e} } $
      • $ f( 1 )=( - 1+2 )\text{e}^{ 1 }=\text{e} $
      • $ f( 2)=( - 2 +2)\text{e}^{ 2 }=0 $

      On obtient alors le tableau de variation ci-dessous :

      Tableau de variation Contrôle continu
  2. Le maximum de la fonction $ f $ est $ f( 1 )=\text{e} $ ; son minimum est $ f( 2 )=0 $. La largeur de la plaque est donc $ \text{e} $ unités. L'unité mesurant 30 cm, la largeur de la plaque est donc $ l=30\text{e} $ centimètres (soit environ 81,5 cm mais c'est la valeur exacte qui est demandée…).