Produit scalaire et quadrillage. Calcul d’angle.

Tout d’abord, traçons le projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur la droite $(CB)$ :

Comme l’angle $\left( \overrightarrow{CB} ; \overrightarrow{CA} \right)$ est un angle aigu :

$\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} =CB \times CH$
$\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} =6 \times 4=24.$

Par ailleurs, on a immédiatement :

$\left\Vert \overrightarrow{CB} \right\Vert =CB=6.$

Pour calculer la longueur du segment $[CA]$, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ :

$AC{}^2 =CH{}^2 +HA{}^2 =4{}^2 +3{}^2$
$\phantom{AC{}^2 }=16+9=25$

Donc :
$\left\Vert \overrightarrow{CA} \right\Vert =AC=\sqrt{25} = 5$

Pour calculer la valeur de $\cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right)$, on utilise la formule donnant le produit scalaire à l’aide du cosinus :

$\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} = \left\Vert \overrightarrow{CB} \right\Vert \times \left\Vert \overrightarrow{CA} \right\Vert \times \cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right)$

On en déduit :

$\cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) = \dfrac{\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} }{ \left\Vert \overrightarrow{CB} \right\Vert \times \left\Vert \overrightarrow{CA} \right\Vert }$

$\cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) =\dfrac{24}{6 \times 5} =0,8.$

À la calculatrice (touche « $\cos{}^{ – 1}$ » ou « Arccos » ), on trouve que l’angle $\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right)$ vaut approximativement 37° au degré près.

Remarque : il était aussi possible et plus simple, ici, de calculer une valeur approchée de l’angle $\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right)$ à l’aide des formules trigonométriques vues en classe de troisième dans le triangle rectangle $AHC$.