Exercices
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Probabilités – Brevet Métropole 2017
Exercice 1 (4 points)
Dans une urne contenant des boules vertes et des boules bleues, on tire au hasard une boule et on regarde sa couleur. On replace ensuite la boule dans l'urne et on mélange les boules.
La probabilité d'obtenir une boule verte est $ \dfrac{2}{5} $.
- Expliquer pourquoi la probabilité d'obtenir une boule bleue est égale à $ \dfrac{3}{5} $.
- Paul a effectué 6 tirages et a obtenu une boule verte à chaque fois.
Au 7$ ^{e} $ tirage, aura-t-il plus de chances d'obtenir une boule bleue qu'une boule verte ? - Déterminer le nombre de boules bleues dans cette urne sachant qu'il y a 8 boules vertes.
Corrigé
Dans une urne, la somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1.
Ici, il n'y a que deux couleurs possibles : vert ou bleu.
La probabilité d'obtenir une boule bleue est donc :$ P(\text{bleue}) = 1 - P(\text{verte}) $$ P(\text{bleue}) = 1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{5} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5} $- Puisque l'on remet la boule dans l'urne après chaque tirage (tirage avec remise), la composition de l'urne ne change pas.
Les tirages sont indépendants et les probabilités restent identiques à chaque fois.
Au $7^e$ tirage, la probabilité d'obtenir une boule bleue est toujours de $ \dfrac{3}{5} $ et celle d'obtenir une boule verte est de $ \dfrac{2}{5} $.
Comme $ \dfrac{3}{5} > \dfrac{2}{5} $, il a toujours plus de chances d'obtenir une boule bleue qu'une boule verte. Soit $ N $ le nombre total de boules dans l'urne.
On sait que la probabilité d'obtenir une boule verte est $ \dfrac{2}{5} $ et qu'il y a 8 boules vertes.
On a donc l'égalité :$ \dfrac{8}{N} = \dfrac{2}{5} $En utilisant le produit en croix, on obtient :
$ 2 \times N = 8 \times 5 = 40 $D'où :
$ N = \dfrac{40}{2} = 20 $Il y a donc 20 boules au total dans l'urne.
Le nombre de boules bleues est :$ 20 - 8 = 12 $