Probabilités – Brevet Métropole 2018
Exercice 3 (12 points)
Dans son lecteur audio, Théo a téléchargé 375 morceaux de musique. Parmi eux, il y a 125 morceaux de rap. Il appuie sur la touche « lecture aléatoire » qui lui permet d'écouter un morceau choisi au hasard parmi tous les morceaux disponibles.
- Quelle est la probabilité qu'il écoute du rap ?
- La probabilité qu'il écoute du rock est égale à $ \dfrac{7}{15} $.
Combien Théo a-t-il de morceaux de rock dans son lecteur audio ? - Alice possède 40 % de morceaux de rock dans son lecteur audio.
Si Théo et Alice appuient tous les deux sur la touche « lecture aléatoire » de leur lecteur audio, lequel a le plus de chances d'écouter un morceau de rock ?
Corrigé
Théo a téléchargé 375 morceaux de musique au total, dont 125 morceaux de rap.
Il choisit un morceau au hasard, il s'agit donc d'une situation d'équiprobabilité.
La probabilité qu'il écoute du rap est :$ P(\text{Rap}) = \dfrac{125}{375} $On peut simplifier cette fraction par 125 :
$ P(\text{Rap}) = \dfrac{1 \times 125}{3 \times 125} = \dfrac{1}{3} $On sait que la probabilité d'écouter du rock est de $ \dfrac{7}{15} $.
Soit $ n $ le nombre de morceaux de rock. Comme il y a 375 morceaux au total, on a :$ \dfrac{n}{375} = \dfrac{7}{15} $On en déduit :
$ n = \dfrac{7}{15} \times 375 = 7 \times 25 = 175 $Théo a donc 175 morceaux de rock dans son lecteur audio.
Pour comparer les chances de Théo et d'Alice, comparons leurs probabilités d'écouter du rock :
- Pour Théo, la probabilité est $ \dfrac{7}{15} $.
- Pour Alice, elle est de 40 %, soit $ \dfrac{40}{100} = 0,4 = \dfrac{4}{10} $.
Mettons ces deux fractions au même dénominateur (30) :
$ \dfrac{7}{15} = \dfrac{14}{30} \qquad $ et $ \qquad \dfrac{4}{10} = \dfrac{12}{30} $Comme $ 14 > 12 $, on a $ \dfrac{7}{15} > 0,4 $.
C'est donc Théo qui a le plus de chances d'écouter un morceau de rock.