Nombres complexes – Bac S Liban 2018

Soit $ z_1 = 1 + \text{i} $.
Calculons le module de $ z_1 $ :
$ |z_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $.
Son argument $ \theta_1 $ vérifie :
$ \cos(\theta_1) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ et $ \sin(\theta_1) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $.
On peut donc choisir $ \theta_1 = \dfrac{\pi}{4} $.

Forme trigonométrique :
$ 1 + \text{i} = \sqrt{2} \left[ \cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right) + \text{i} \sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right) \right] $

Forme exponentielle :

De même, soit $ z_2 = 1 - \text{i} $.
Remarquons que $ z_2 = \overline{z_1} $.
Le module reste inchangé et l'argument est l'opposé.

Forme trigonométrique :
$ 1 - \text{i} = \sqrt{2} \left[ \cos\left( -\dfrac{\pi}{4} \right) + \text{i} \sin\left( -\dfrac{\pi}{4} \right) \right] $

Forme exponentielle :

1. Utilisons les formes exponentielles trouvées précédemment :
   $ S_n = (1 + \text{i})^n + (1 - \text{i})^n $
   $ S_n = \left( \sqrt{2} \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{4}} \right)^n + \left( \sqrt{2} \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{4}} \right)^n $
   $ S_n = (\sqrt{2})^n \text{e}^{\text{i} \frac{n\pi}{4}} + (\sqrt{2})^n \text{e}^{-\text{i} \frac{n\pi}{4}} $
   $ S_n = (\sqrt{2})^n \left( \text{e}^{\text{i} \frac{n\pi}{4}} + \text{e}^{-\text{i} \frac{n\pi}{4}} \right) $

   D'après les formules d'Euler, on sait que pour tout réel $ \theta $, $ \text{e}^{\text{i}\theta} + \text{e}^{-\text{i}\theta} = 2 \cos(\theta) $.
   On a donc ici :
   $ \text{e}^{\text{i} \frac{n\pi}{4}} + \text{e}^{-\text{i} \frac{n\pi}{4}} = 2 \cos\left( \dfrac{n\pi}{4} \right) $

   D'où l'expression de $ S_n $ :

   $ S_n = 2 (\sqrt{2})^n \cos\left( \dfrac{n\pi}{4} \right) $

   Comme $ S_n $ est un nombre réel, sa forme trigonométrique s'écrit :
   $ S_n = 2 (\sqrt{2})^n \cos\left( \dfrac{n\pi}{4} \right) + \text{i} \times 0 $
   ou, de manière plus rigoureuse sous la forme $ r(\cos \alpha + \text{i}\sin \alpha) $ :

   • Si $ \cos\left( \dfrac{n\pi}{4} \right) > 0 $ : $ S_n = 2 (\sqrt{2})^n \cos\left( \dfrac{n\pi}{4} \right) [\cos(0) + \text{i}\sin(0)] $
   • Si $ \cos\left( \dfrac{n\pi}{4} \right) < 0 $ : $ S_n = -2 (\sqrt{2})^n \cos\left( \dfrac{n\pi}{4} \right) [\cos(\pi) + \text{i}\sin(\pi)] $
   • Si $ \cos\left( \dfrac{n\pi}{4} \right) = 0 $ : $ S_n = 0 $.

   L'expression réelle $ 2 (\sqrt{2})^n \cos\left( \dfrac{n\pi}{4} \right) $ constitue la réponse attendue car elle permet de répondre directement aux affirmations suivantes.

2. Affirmation A : Vraie
   On a montré que pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ S_n = 2 (\sqrt{2})^n \cos\left( \dfrac{n\pi}{4} \right) $.
   Comme $ 2 $, $ (\sqrt{2})^n $ et $ \cos\left( \dfrac{n\pi}{4} \right) $ sont des nombres réels, leur produit $ S_n $ est toujours un nombre réel.
   On pouvait aussi remarquer que $ S_n = z^n + \overline{z}^n = z^n + \overline{z^n} = 2 \text{Re}(z^n) $, ce qui garantit que $ S_n $ est réel.

   Affirmation B : Vraie
   On cherche s'il existe une infinité d'entiers $ n $ tels que $ S_n = 0 $.
   $ S_n = 0 \iff 2 (\sqrt{2})^n \cos\left( \dfrac{n\pi}{4} \right) = 0 $
   Comme $ 2 (\sqrt{2})^n $ n'est jamais nul, cela revient à résoudre :

   $ \cos\left( \dfrac{n\pi}{4} \right) = 0 $

   $ \dfrac{n\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi $ avec $ k \in \mathbb{Z} $

   $ \dfrac{n}{4} = \dfrac{1}{2} + k $

   $ n = 4 \left( \dfrac{1}{2} + k \right) = 2 + 4k $

   Pour chaque valeur de $ k \in \mathbb{N} $, on obtient un entier naturel $ n $ différent ($ n=2, 6, 10, \dots $).
   Il existe donc bien une infinité d'entiers naturels $ n $ tels que $ S_n = 0 $.