Exercice 2
(3 points) – Commun à tous les candidats
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct $(O~;~\vec{u};~\vec{v})$.
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On considère l’équation
$(E) :\qquad z^2 – 6z+c = 0$
où $c$ est un réel strictement supérieur à $9$.
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Justifier que $(E)$ admet deux solutions complexes non réelles.
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Justifier que les solutions de $(E)$ sont $z_{A} = 3+\text{i}\sqrt{c – 9}$ et $z_{B} = 3 – \text{i}\sqrt{c – 9}$.
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On note $A$ et $B$ les points d’affixes respectives $z_{A}$ et $z_{B}$.
Justifier que le triangle $OAB$ est isocèle en $O$.
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Démontrer qu’il existe une valeur du réel $c$ pour laquelle le triangle $OAB$ est rectangle et déterminer cette valeur.
Corrigé
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Le discriminant de l’équation est :
$\Delta = b^2 – 4ac=36 – 4c = 4(9 – c)$
Ce discriminant est strictement négatif puisque $c > 9$.
L’équation $(E)$ admet donc deux solutions complexes non réelles conjuguées.
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$z_1=\dfrac{ – b+\text{i}\sqrt{ – \Delta}}{2a}$
$z_1=\dfrac{6+2\text{i}\sqrt{c – 9}}{2}$
$z_1=3+\text{i}\sqrt{c – 9}=z_A$
$z_2=\overline{z_1}$
$z_2=3 – \text{i}\sqrt{c – 9}=z_B$
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$OA=\left|z_A \right|$
$OB=\left|z_B \right|=\left|z_A \right|$ car deux nombres complexes conjugués ont les mêmes modules.
Le triangle $OAB$ est donc isocèle en $O$.
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Le triangle $OAB$ est rectangle en $O$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont orthogonaux.
Les coordonnées de $\overrightarrow{OA}$ sont $$\begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{c – 9} \end{pmatrix}$$.
Les coordonnées de $\overrightarrow{OB}$ sont $$\begin{pmatrix} 3 \\ – \sqrt{c – 9} \end{pmatrix}$$.
Les \vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont orthogonaux si et seulement si \leur produit scalaire est \nul.
Or :
$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=3\times 3+\sqrt{c – 9}\times( – \sqrt{c – 9})$
$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=9 – (c – 9)=18 – c$
Le triangle $OAB$ est donc rectangle en $O$ si et seulement si $c=18$