Puissances d’une matrice

Dans cet exercice on note $$I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ la matrice unité.

Soient \les matrices $$A=\begin{pmatrix} 1 & – 1 & – 1 \\ – 1 & 1 & – 1 \\ – 1 & – 1 & 1 \end{pmatrix}$$ et $$B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

1. 1. Ex\primer $B^2$ et $B^3$ en fonction de $B$.

   2. Conjecturer l’\expression de $B^n$ en fonction de $n$ et de $B$.

   3. Démontrer la conjecture précédente par récurrence.

2. 1. Ex\primer $A$ en fonction de $B$ et de $I$.

   2. En déduire l’\expression de $A^2$ puis $A^3$ en fonction de $B$ et de $I$.

   3. Donner l’écriture matricielle de $A^3$.

3. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ strictement positif, il existe un entier $a_n$ tel que :

      $A^n=2^nI+a_nB$.

   2. Déterminer la valeur de $a_1$ et une \expression de $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$.

   3. En déduire la valeur de $a_n$ en fonction de $n$.

   4. Donner l’écriture matricielle de la matrice $A^n$ en fonction de $n$.