Somme de puissances et congruences

$3^3 = 27 \equiv 2 \ (\text{mod.}\ 25)$

Par conséquent, en élevant chaque membre à la puissance $n$ :

$3^{3n} \equiv 2^n \ (\text{mod.}\ 25)$

Et en multipliant par $3^2$ :

$3^{3n} \times 3^2 \equiv 2^n \times 3^2 \ (\text{mod.}\ 25)$

$3^{3n+2} \equiv 9 \times 2^n\ (\text{mod.}\ 25)$

Il suffit maintenant d’ajouter $2^{n +4}$ à chaque membre :

$3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 9 \times 2^n + 2^{n +4} \ (\text{mod.}\ 25)$

$3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 9 \times 2^n + 2^{n} \times 2^4 \ (\text{mod.}\ 25)$

$3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 9 \times 2^n + 2^{n} \times 16 \ (\text{mod.}\ 25)$

$3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 25 \times 2^n \ (\text{mod.}\ 25)$

Et comme $25 \times 2^n$ est divisible par $25$, $2^{n +4}+3^{3n+2}$ l’est aussi.