Comparaison de tarifs
Sylvie souhaite s'inscrire à un club d'aquagym pour une année.
Le club propose trois formules tarifaires différentes :
- Formule « à la séance » : 12 € la séance
- Formule « carte » : 90 € par carte de 10 séances
- Formule « abonnement » : cotisation de 50 € puis 5 € par séance.
Montrer que le coût total pour 8 séances est :
- 96 € avec la formule « à la séance »
- 90 € avec la formule « carte »
- 90 € avec la formule « abonnement ».
- Sylvie souhaite participer à 30 séances sur l'année. Quelle formule est la plus avantageuse ?
- Angélique s'inscrit également à ce club mais elle ne sait pas à l'avance à combien de séances elle va participer.
Elle souhaite cependant comparer les formules « à la séance » et « abonnement ».
Soit $ x $ le nombre de séances auxquelles Angélique participera.
Exprimer en fonction de $ x $ le coût total si elle choisit la formule « à la séance » puis le coût total si elle choisit la formule « abonnement ». - À partir de combien de séances la formule « abonnement » est-elle plus avantageuse que la formule « à la séance » ?
- On note $ f $ la fonction qui à $ x $ associe $ 12x $ et $ g $ la fonction qui a $ x $ associe $ 5x +50 $.
La fonction $ f $ est-elle une linéaire ? affine ?
Mêmes questions pour la fonction $ g $. - Représenter les fonctions $ f $ et $ g $ dans un repère orthogonal en prenant pour unités 1 cm en abscisses et 1 mm en ordonnées.
Retrouver le résultat de la question 5 à l'aide de ce graphique.
Corrigé
Calculons le coût total pour 8 séances :
- Avec la formule « à la séance » : Sylvie paiera 12 euros par séance donc au total :
$ 8\times 12=96 $ euros. - Avec la formule « carte », Sylvie devra acheter une carte qui lui coûtera $ 90 $ euros (et il lui restera deux séances inutilisées).
- Avec la formule « abonnement », Sylvie paiera une cotisation de 50 euros puis 5 euros par séance soit au total :
$ 50+8\times 5=50+40=90 $ euros.
- Avec la formule « à la séance » : Sylvie paiera 12 euros par séance donc au total :
Le calcul est similaire pour 30 séances :
- Avec la formule « à la séance » : Sylvie paiera au total :
$ 30\times 12=360 $ euros. - Avec la formule « carte », Sylvie devra acheter trois cartes qui lui coûteront $ 3\times 90=270 $ euros.
- Avec la formule « abonnement », Sylvie paiera au total :
$ 50+30\times 5=50+150=200 $ euros.
Pour 30 séances, la formule « abonnement » est la plus avantageuse.
- Avec la formule « à la séance » : Sylvie paiera au total :
Pour $ x $ séances :
- Avec la formule « à la séance » : Angélique paiera au total :
$ 12\times x=12x $ euros. - Avec la formule « abonnement », Angélique paiera au total :
$ 50+x\times 5=50+5x $ euros.
- Avec la formule « à la séance » : Angélique paiera au total :
- La formule « abonnement » est plus avantageuse que la formule « à la séance » dès lors que :
$ 50+5x $
On soustrait $ 5x $ à chaque membre de l'inéquation :
$ 50+5x - 5x $
$ 50 $
On divise chaque membre par 7 :
$ \dfrac{50}{7} $
$ \dfrac{50}{7} $
Comme $ \dfrac{50}{7} \approx 7,1 $, la formule « abonnement » sera plus intéressante à partir de 8 séances. - La fonction $ f $ est : $ x \longmapsto 12x $.
Elle est de la forme :$ x \longmapsto ax $ ; c'est donc une fonction linéaire et également une fonction affine (puisque les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières).
La fonction $ g $ est : $ x \longmapsto 5x +50 $.
Elle est de la forme :$ x \longmapsto ax+b $ mais n'est pas de la forme : $ x \longmapsto ax $; c'est donc une fonction affine mais non linéaire. La fonction $ f $ est linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Il suffit d'un second point pour tracer cette droite ; par exemple le point de coordonnées $ (1;12) $ puisque $ f(1)=12 $.
La fonction $ g $ est affine et non linéaire. Sa représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine. Il suffit de deux points pour tracer cette droite ; par exemple les points de coordonnées $ (0;50) $ et $ (1;55) $ puisque $ f(0)=50 $ et $ f(1)=55 $.
On obtient le graphique suivant :
La fonction $ f $ représente le coût de la formule « carte » et la fonction $ g $ représente le coût de la formule « abonnement ». On retrouve bien graphiquement que la formule « abonnement » est plus intéressante à compter de 8 séances.