Nombres complexes – Bac S Nouvelle Calédonie 2016

1. 1. Soit le nombre complexe $ c = 1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} $. Il s'écrit $ c = r\text{e}^{\text{i}\theta} $ sous forme exponentielle, $ r $ étant son module et $ \theta $ son argument.
      On a :

      $ r = |c| = \sqrt{1^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + \dfrac{3}{9}} = \sqrt{\dfrac{12}{9}} = \sqrt{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} $
      $ \cos\theta = \dfrac{1}{r} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{r} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} $

      On en déduit que $ \theta \equiv \dfrac{\pi}{6} \pmod{2\pi} $.
      Alors :

      $ c = 1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} $

   2. $ z_0 = 1 $ et $ z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n \implies z_1 = c \times z_0 = c $.
      D'où :

      $ z_1 = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} $
      $ z_2 = c \times z_1 = c^2 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}\right)^2 = \dfrac{4}{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} $

2. 1. On peut écrire $ z_1 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^1 \text{e}^{\text{i}1\frac{\pi}{6}} $ et $ z_2 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \text{e}^{\text{i}2\frac{\pi}{6}} $.
      Si la proposition $ z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}} $ est vraie au rang $ n $, elle est aussi vraie pour $ z_{n+1} $ car :

      $ z_{n+1} = z_1 \times z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}} = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{n+1} \text{e}^{\text{i}(n+1)\frac{\pi}{6}} $

      Par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel $ n $.

   2. Les points $ O, A_0 $ et $ A_n $ sont respectivement les points d'affixe $ 0, z_0 $ et $ z_n $. Pour qu'ils soient alignés, il faut que leurs arguments soient égaux à $ k\pi $ près, avec $ k \in \mathbb{Z} $.
      Les arguments de $ O $ (non défini) et $ z_0 $ sont $ 0 $ (argument de $ 1 $).
      Il faut donc que $ \arg(z_n) = n\dfrac{\pi}{6} \equiv 0 \pmod{\pi} $, ce qui donne $ n = 6k $.

3. 1. $ d_n = |z_{n+1} - z_n| $ est le module du complexe $ z_{n+1} - z_n $ dont l'image $ A_d $ dans le repère orthonormé est telle que $ \vec{OA_d} = \vec{OA_{n+1}} - \vec{OA_n} = \vec{A_n A_{n+1}} $.
      Ceci revient à dire que $ d_n $ est égale à la norme du vecteur $ \vec{A_n A_{n+1}} $, soit la distance $ A_n A_{n+1} $ :

      $ d_n = A_n A_{n+1} = \left\| \vec{A_n A_{n+1}} \right\| $
   2. $ d_0 = |z_1 - z_0| = \left| 1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} - 1 \right| = \left| \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right| = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $.

   3. Pour tout entier $ n \geqslant 0 $ :

      $ z_{n+2} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_{n+1} $
      $ z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_{n} $

      Par différence, on obtient :

      $ z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right) $

   4. Le module du produit de deux complexes étant égal au produit de leurs modules, on a :

      $ |z_{n+2} - z_{n+1}| = \left|1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right| \times |z_{n+1} - z_n| $

      C'est-à-dire $ d_{n+1} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} d_n $.
      La suite $ (d_n)_{n \geqslant 0} $ est une suite géométrique de premier terme $ d_0 = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $ et de raison $ q = \dfrac{2}{\sqrt{3}} $.
      Ainsi, pour tout entier naturel $ n $ :

      $ d_n = d_0 q^n = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n $

4. 1. D'après la question 2.a, on a $ |z_n| = \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n $.
      D'où :

      $ |z_{n+1}|^2 = \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^{2(n+1)} = \left( \dfrac{4}{3} \right)^{n+1} = \dfrac{4}{3} \left( \dfrac{4}{3} \right)^n $

      D'autre part :

      $ |z_n|^2 + d_n^2 = \left( \dfrac{4}{3} \right)^n + \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 \left( \dfrac{4}{3} \right)^n = \left( \dfrac{4}{3} \right)^n + \dfrac{3}{9} \left( \dfrac{4}{3} \right)^n = \left( 1 + \dfrac{1}{3} \right) \left( \dfrac{4}{3} \right)^n = \dfrac{4}{3} \left( \dfrac{4}{3} \right)^n $

      On a bien $ |z_{n+1}|^2 = |z_n|^2 + d_n^2 $.

   2. D'après l'égalité précédente et le théorème de Pythagore, on a $ OA_{n+1}^2 = OA_n^2 + A_n A_{n+1}^2 $.
      Ceci implique que le triangle $ OA_n A_{n+1} $ est rectangle en $ A_n $.

   3. Construction : On construit le symétrique $ A'_1 $ de $ A_1 $ par rapport à l'axe des abscisses. On trace les cercles de centre $ O $ de rayon $ OA_1 $ et de centre $ A_0 $ de rayon $ A_0 A_1 $. Ces deux cercles se coupent en $ A_1 $ et $ A'_1 $. On trace la droite $ (OA'_1) $, nommée $ (D) $ (en vert).

      On trace ensuite la droite $ (A_1 A_2) $ et le cercle de centre $ A_1 $ de rayon $ R = OA_4 $. Ils se coupent en $ A'_4 $. On trace la droite $ (A'_4 A_4) $, nommée $ (D') $ (en rouge). Le point d'intersection de $ (D) $ et $ (D') $ est $ A_5 $.

      

   4. Justification : L'argument de l'affixe de $ A_5 $ est $ 5\dfrac{\pi}{6} $. L'argument de l'affixe de $ A'_1 $, conjugué de l'affixe de $ A_1 $, vérifie $ \arg(z_{A'_1}) \equiv -\dfrac{\pi}{6} \equiv 11\dfrac{\pi}{6} \equiv \pi + 5\dfrac{\pi}{6} \pmod{2\pi} $. Donc $ A'_1 $ et $ A_5 $ sont alignés avec $ O $ sur la droite $ (D) $.

      Les arguments des affixes de $ A_1 $ et $ A_4 $ diffèrent de $ 4\dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} $. Donc $ (OA_1) $ et $ (OA_4) $ sont perpendiculaires. Par ailleurs, d'après 4.b, $ (A_1 A_2) $ est perpendiculaire à $ (OA_1) $. Donc $ (A_1 A_2) $ est parallèle à $ (OA_4) $. Par construction, $ A_1 A'_4 = OA_4 $. On en déduit que $ OA_1 A'_4 A_4 $ est un rectangle et que $ (A'_4 A_4) $ est perpendiculaire à $ (OA_4) $.

      D'après 4.b, $ A_5 $ doit se trouver sur la droite $ (D') $ perpendiculaire à $ (OA_4) $.

      Donc $ A_5 $ se trouve à l'intersection de $ (D) $ et $ (D') $.

(Solution rédigée par Paki)