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edit_note Exercices 25 min
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QCM Nombres complexes – Bac S Centres étrangers 2009

Exercice 3

4 points - Commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, on pourra donner un contre-exemple.

  1. Pour tout complexe $ z $, $ \text{Re}\left(z^{2}\right)=\left(\text{Re}\left(z\right)\right)^{2} $.

  2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal $ \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) $.

    Pour tout nombre complexe $ z $ non nul, les points $ M $ d'affixe $ z $, $ N $ d'affixe $ \overline{z} $ et $ P $ d'affixe $ \dfrac{z^{2}}{\overline{z}} $ appartiennent à un même cercle de centre O.

  3. Pour tout nombre complexe $ z $, si $ |1+\text{i}z|=|1 - \text{i}z| $, alors la partie imaginaire de $ z $ est nulle.

  4. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal $ \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) $.

    Quels que soient les nombres complexes $ z $ et $ z^{\prime} $ non nuls, d'images respectives $ M $ et $ M^{\prime} $ dans le plan complexe, si $ z $ et $ z^{\prime} $ vérifient l'égalité $ |z+z^{\prime}|=|z - z^{\prime}| $, alors les droites $ \left(OM\right) $ et $ \left(OM^{\prime}\right) $ sont perpendiculaires.

Corrigé

  1. Faux.
    En effet, si $ z = a + \text{i}b $, on a :

    $ z^2 = a^2 - b^2 + 2\text{i}ab $

    et donc :

    $ \text{Re}(z^2) = a^2 - b^2 $ et $[ \text{Re}(z) ]^2 = a^2 $

    Donc la proposition n'est vraie que si la partie imaginaire $ b $ de $ z $ est nulle. Elle est fausse dans tous les autres cas.
    Par exemple, si $ z = 3 + 2\text{i} $, alors $ \text{Re}(z^2) = 5 \neq [ \text{Re}(z) ]^2 = 9 $.

  2. Vrai.
    Si les points $ M $, $ N $ et $ P $, respectivement d'affixe $ z $, $ \overline{z} $ et $ \dfrac{z^2}{\overline{z}} $, sont sur un même cercle de centre $ O $, alors leurs modules sont égaux.
    C'est vrai pour $ z $ et son conjugué $ \overline{z} $.
    Par ailleurs, le module du carré d'un nombre complexe est égal au carré de son module et le module du quotient de deux nombres complexes est égal au quotient de leurs modules. Ce qui se traduit par :

    $ |z| = |\overline{z}| $ et $ \left| \dfrac{z^2}{\overline{z}} \right| = \dfrac{|z|^2}{|\overline{z}|} = |z| $

    La proposition est donc vérifiée.

  3. Vrai.
    Soit $ z = a + \text{i}b $, alors $ \text{i}z = -b + \text{i}a $.
    $ 1 + \text{i}z = 1 - b + \text{i}a $ et $ 1 - \text{i}z = 1 + b - \text{i}a $.

    $ |1 + \text{i}z| = \sqrt{(1-b)^2 + a^2} = \sqrt{1 - 2b + b^2 + a^2} $
    $ |1 - \text{i}z| = \sqrt{(1+b)^2 + a^2} = \sqrt{1 + 2b + b^2 + a^2} $

    Si $ |1 + \text{i}z| = |1 - \text{i}z| $, alors :

    $ \sqrt{1 - 2b + b^2 + a^2} = \sqrt{1 + 2b + b^2 + a^2} $

    et $ 1 - 2b + b^2 + a^2 = 1 + 2b + b^2 + a^2 \Rightarrow -2b = 2b \Rightarrow b = 0 $.
    La proposition est vérifiée.

  4. Vrai.
    Posons $ z = a + \text{i}b $ et $ z' = a' + \text{i}b' $, affixes respectives de $ M $ et $ M' $.
    Les droites $ (OM) $ et $ (OM') $ sont perpendiculaires si et seulement si $ \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{OM'} = 0 $, soit $ aa' + bb' = 0 $.
    Par ailleurs :
    $ z + z' = (a + a') + \text{i}(b + b') $ et $ z - z' = (a - a') + \text{i}(b - b') $

    $ |z + z'| = \sqrt{(a + a')^2 + (b + b')^2} = \sqrt{a^2 + 2aa' + a'^2 + b^2 + 2bb' + b'^2} = \sqrt{(a^2 + a'^2 + b^2 + b'^2) + 2(aa' + bb')} $
    $ |z - z'| = \sqrt{(a - a')^2 + (b - b')^2} = \sqrt{a^2 - 2aa' + a'^2 + b^2 - 2bb' + b'^2} = \sqrt{(a^2 + a'^2 + b^2 + b'^2) - 2(aa' + bb')} $

    $ |z + z'| = |z - z'| \Leftrightarrow aa' + bb' = 0 $.
    La proposition est vérifiée.

(Solution rédigée par Paki)