Probabilités : événements indépendants – Bac S Centres étrangers 2009
Exercice 1
4 points - Commun à tous candidats
Restitution organisée de connaissances :
Pré-requis : On rappelle que deux événements $ A $ et $ B $ sont indépendants pour la probabilité $ p $ si et seulement si : $ p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right) \times p\left(B\right) $.
Soient $ A $ et $ B $ deux événements associés à une expérience aléatoire
- Démontrer que $ p\left(B\right)=p\left(B \cap A\right)+ p\left(B \cap \overline{A}\right) $.
- Démontrer que, si les événements $ A $ et $ B $ sont indépendants pour la probabilité $ p $, alors les événements $ \overline{A} $ et $ B $ le sont également.
Application : Chaque matin de classe, Stéphane peut être victime de deux événements indépendants :
⋄ R : "il n'entend pas son réveil sonner";
⋄ S : "son scooter, mal entretenu, tombe en panne".
Il a observé que chaque jour de classe, la probabilité de R est égale à 0,1 et que celle de S est égale à 0,05. Lorsque qu'au moins l'un des deux événements se produit, Stéphane est en retard au lycée sinon il est à l'heure.
- Calculer la probabilité qu'un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne.
- Calculer la probabilité que Stéphane soit à l'heure au lycée un jour de classe donné.
- Au cours d'une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu'il entende son réveil sonner un jour de classe donné n'influe pas sur le fait qu'il l'entende ou non les jours suivants.
Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours d'une semaine ? Arrondir le résultat à la quatrième décimale.
Corrigé
On a :
$ p(B \cap A) + p(B \cap \overline{A}) = p(B) \times p_B(A) + p(B) \times p_B(\overline{A}) = p(B) \times [p_B(A) + p_B(\overline{A})] $En remarquant que $ p_B(A) + p_B(\overline{A}) = 1 $, on obtient $ p(B \cap A) + p(B \cap \overline{A}) = p(B) $.
Si les événements $ A $ et $ B $ sont indépendants, alors :
$ p(B) = p(B \cap A) + p(B \cap \overline{A}) = p(B) \times p(A) + p(B \cap \overline{A}) $$ \Rightarrow p(B \cap \overline{A}) = p(B) - p(B) \times p(A) = p(B) \times [1 - p(A)] = p(B) \times p(\overline{A}) $ce qui exprime une condition nécessaire et suffisante pour que $ B $ et $ \overline{A} $ soient indépendants.
$ R $ et $ S $ sont indépendants donc d'après la question précédente $ \overline{R} $ et $ S $ le sont aussi.
La probabilité qu'ils surviennent ensemble le même jour est donnée par :$ p(\overline{R} \cap S) = p(\overline{R}) \times p(S) = (1 - p(R)) \times p(S) = 0,9 \times 0,05 = 0,045 $Pour que Stéphane soit à l'heure un jour de classe donné, il faut qu'il entende son réveil sonner et que son scooter ne tombe pas en panne. Autrement dit, il faut que les événements $ \overline{R} $ et $ \overline{S} $ surviennent ensemble le même jour, ce qui se traduit en terme de probabilité par :
$ p(\overline{R} \cap \overline{S}) = p(\overline{R}) \times p(\overline{S}) = (1 - 0,1)(1 - 0,05) = 0,9 \times 0,95 = 0,855 $Soit $ X $ la variable aléatoire qui représente le nombre de fois où Stéphane entend le réveil sonner au cours d'une semaine. $ X $ suit la loi binomiale :
$ p(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k} $avec $ n = 5 $, $ 0 \le k \le 5 $ et $ p = p(\overline{R}) = 0,9 $. La probabilité $ P $ que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours de la semaine est égale à la somme de la probabilité qu'il l'entende exactement 4 fois et de celle qu'il l'entende exactement 5 fois. Soit :
$ P = p(X = 4) + p(X = 5) = \binom{5}{4} \times 0,9^4 \times 0,1^1 + \binom{5}{5} \times 0,9^5 \times 0,1^0 = 5 \times 0,9^4 \times 0,1 + 0,9^5 $soit finalement $ P = 0,9185 $.
(Solution rédigée par Paki)